Referat differensial tenglamalarning geologiyada qo’llanilishi

y' = ^y x
differensial tenglamaning maxsus nuqtasidan

iborat. Oy o‟qda yotuvchi nuqtalar ham maxsus nuqtalardir. y=Cx umumiy yechim geometrik jihatdan koordinatalar boshidan o‟tuvchi barcha to‟g‟ri chiziqlar (Oy o‟qdan tashqari) to‟plamini beradi. Oy o‟qda yotmagan har bir nuqta orqali bu to‟plamning yagona to‟g‟ri chizig‟i o‟tadi. Koordinatalar boshi orqali cheksiz ko‟p integral egri chiziqlar o‟tadi. Shuni takidlaymizki, Oy o‟qda yotgan va koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushmaydigan maxsus nuqtalar orqali birorta ham integral chiziq o‟tmaydi.

3-misol.

y' = - ^y
x
tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamada o‟zgaruvchilarni ajratib, integrallaymiz:

dy _{= -} x
Ю ydy = -xdx,
_т ydy = -_т xdx Ю

dx y

2

2

2
y _{= -} x ₊ C
2 2 2

yoki
x² + y ² = C ² , bu yerda C>0 ixtiyoriy haqiqiy son

Tenglamaning umumiy yechimi markazi O(0;0) koordinata boshida joylashgan

radiusi esa R=C ga teng bo‟lgan konsentrik aylanalardan iborat (4-chizma) bo‟ladi.

Xususan, A(4;-3) nuqtadan o‟tuvchi yechimni topish uchun

x² + y ² = C ² ,
umumiy

yechimdan

4² + (-3)² = C ² ,
C ² = 16 + 9 = 25
C=5 ni topamiz, Demak, izlangan xususiy

yechim:
x² + y² = 25 bo‟ladi.

Takidlaymizki, O(0;0) nuqta orqali birorta ham aylana (integral chiziq)o‟tmaydi, bu maxsus nuqta hisoblanadi. Shu sababdan ham berilgan tenglamaning umumiy yechimi markazi teshilgan nuqta (markazi O(0;0) nuqta teshib olib tashlangan) bo‟lgan aylanalar oilasidan iborat deb tushunish lozim.