Referat differensial tenglamalarning geologiyada qo’llanilishi

3.⁰ Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.

Agarda M ko‟phadning barcha hadlari x va y larga nisbatan bir xil darajaga ega bo‟lsa, bunday ko‟phadga bir jinsli ko‟phad deyiladi, masalan: M₁=x²y+xy²+y³, ko‟phad 3-

darajali, M₂= 2x²+3xy+5y² ko‟pxad 2-darajali, M₃=2 darajali bir jinsli ko‟phadlarga misol bo‟ladi.

Rdx+Qdy=0, (1)
+ 5х - 7 у
ko‟pxad esa 1-

ko‟rinishdagi tenglamada R va Q x va y ga nisbatan bir xil darajali ko‟phaddan iborat bo‟lsa, bu tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

Bunday tenglamani qanday yechishni aniq misolda ko„rsatamiz. Misol.
y²dx+(x²-xy)dy=0, (2)
tenglamani yechishni qaraymiz, bu yerda R=y² va Q=x²-xy bo‟lib, ular 2-tartibli bir jinsli funksiyalardir, shu sababdan (2) tenglama bir jinslidir. (2)dan

dy ₌
dx
_y 2
,
xy - x ²
(3)

y=zx (4)

almashtirish bajarsak, bu yerda z, x ning yangi funksiyasi, (4) ni differensiallab

^dy = z + x ^dz ,
(5)

dx

3. va (5) dan y va

   
   

dx
^dy larni qiymatlarini (3) tenglamaga qo‟ysak:
z + x ^dz =


_z 2 _x2
,

yoki
dz z ²

dx


dz z
dx zx² - x²

z + x =
dx

z -1
bundan
x =
dx z -1
o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga ega bo„lamiz.

O„zgaruvchilarni ajratsak

z -1 _{dz =} dx

z x
yoki
ж ¹ ц

з^{1 -}

_чdz = ^dx . Bu tenglikni integrallab
z - ln z
= ln x + ln С ,
C № 0 -o‟zgarmas son.

_и z _ш x

z=lne^z ni e‟tiborga olib lne^z=lnзCxzз yoki e^z=Czx, (4) dan

(2) yoki (3) tenglamani umumiy yechimini topamiz:
y
z = ^y ni ohirgi tenglikka qo‟yib,
x

e ^x = Сy,

Ushbu

4⁰_. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

^dy + a(x) y = b(x), dx
(1)

ko‟rinishdagi tenglamalarga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi,

tenglamani chiziqli deyilishiga sabab, noma‟lum y funksiya va uning hosilasi

_{у / =} dy
dx

birinchi darajada tenglamada qatnashyapti, bu yerda a(x) va b(x) xОX da berilgan, aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir. Xususiy holda a(x) va b(x) lar o‟zgarmas sonlar ham bo‟lishi mumkin.

Agar (1) tenglamaning o‟ng tomoni b(x)№0 bo‟lsa, bu tenglama chiziqli bir jinsli bo‟lmagan tenglama deyiladi. Agar b(x)=0 bo‟lsa (1) tenglama chiziqli o‟zgaruvchilari ajralgan tenglama bo‟ladi. b(x)№0 bo‟lsin, ya‟ni (1) tenglama bir jinsli bo‟lmasin deylik. (1) tenglamani o‟rniga qo‟yish usuli (Eyler-Bernulli metodi) bilan yechishni qaraymiz. (1) tenglamada erkli o‟zgaruvchi x ni o„zicha qoldirib,
y=uЧv , (2)
(bu yerda u va v – o„zgaruvchilar x ning yangi uzluksiz funksiyalari) formula bo‟yicha almashtirish bajaramiz. (2) dan x bo„yicha hosila olsak,

dy _{= u} dv _{+ v} du _,
(3)

dx dx dx

(2) va (3) ni (1) ga qo‟ysak

v ^du + u^{й dv} + a(x)v^щ = b(x),
(4)

dx ^к_л dx ^ъ_ы

Endi v funksiyani shunday tanlaylikki,

^dv + a(x)v = 0,
dx
(5)

tenglik o‟rinli bo„lsin. (5) tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak,

^dv = -a(x)dx, v
(v № 0)

Bu tenglikni integrallab quyidagini topamiz.

ln v = -_т a(x)dx + ln С ,

-_т a( x)dx
(С № 0 - ixtiyoriy o„zgarmas son) yoki

v = Сe ,
(6)

v funksiyaning bu qiymatini (4) ga qo‟ysak, u funksiya uchun o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:

Сe-^{т
a( x)dx} du
Ч
dx
= b(x),
(7)

Bu tenglamaning ikkala qismini yerdan

_eт a( x)dx_dx
ga ko‟paytiramiz
Сdu = b(x)e
_т a( x)dx_dx
, bu

^й т
1
u = _{C клт}b(x)e
a( x)dx
dx + C ^щ,
1 _ъы
C₁ = const
(8)

(7) va (8) ni (2) ga qo‟ysak, (1) tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz:

у = e
-_т a( x)dx <sub>й

т</sub>b(x)e
к_л
т a( x)dx
dx + C ^щ,
1 _ъы
(9)

Ko‟pincha, (5) tenglamani (6) umumiy yechimida C=1 deb olish, ya‟ni (5) ning noldan

farqli birorta xususiy yechimini

• 
  
  a( x)dx
  

т
v = e deb olsa ham bo‟ladi. Yuqorida ko‟rib

chiqilgan o‟rniga qo‟yish usuli bitta (1) chiziqli tenglamani

integrallash masalasini o‟zgaruvchilari ajraladigan ikkita (5) va (7) tenglamalarning yechimlarini topishga olib keladi.
Agar (1) tenglamaning y(x₀)=y₀ boshlangich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish kerak bo‟lsa, (9) umumiy yechimdagi aniqmas integrallarni yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan aniq integrallar bilan almashtirish qo‟laydir. Bunday almashtirishda (9) formula ushbu ko‟rinishni oladi:

й
x

• 
  
  _т a(t)dt
  

t

щ

o

_т a(s)ds

у = e ^{xo
к x} x

к

к

_т b(t)e x_o
л
ъ
dt + C_{1 ъ},
ъ_ы
(10)

bu yerda x₀ –ixtiyoriy tayinlangan son, x₀ОX. (10) tenglikdan y(x_o)=y₀ boshlang‟ich shartga ko„ra C₁ o‟zgarmasni qiymatini aniqlash mumkin:

^xо й ^t щ

• 
  

  0
  _т ^a(t)dt x

  
  

x _к
т a(S )dS _ъ

у(х_о ) = у₀ = e ^o
_к т

x
_кл 0
b(t)e ^xo
dt + C_{1 ъ},
ъ_ы
chegaralari bir xil bo‟lgan aniq

integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgan aniq integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgani uchun C₁=y₀ ni topamiz. Natijada (1) tenglamani y(x_o)=y₀ boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini qo‟yidagi shaklda hosil qilamiz.

x й
- _т ( ) _к
t

щ
_т a(S )dS

_x ъ

у = e
a t dt
x_o
к ^у₀ ⁺
к
к_л
x
_т b(t)e ^o
x₀
^dt ъ^,
ъ
ъ_ы

Misol . х ^{2 dy} - 2xy = 3 tenglamani yeching.
dx
Yechish : Avvalo berilgan tenglamani (1) chizikli tenglama shakliga keltirish uchun uni ikkala tomonini x²№0 ga bo‟lamiz:
dy _{- 2 Ч} y ₌ 3
dx x x ²

y = u Ч v ni va
dy _{= u} dv _{+ v} du
larni tenglamaga qo‟ysak:

dx dx
u( ^dv - 2 Ч ^v ) + v ^du = ³
dx
(*) v ni shunday tanlaylikki

dx x
dx x²

^dv - 2 ^v = 0 bo‟lsin. Oxirgi tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak:
dx x

dv _{= 2} dx _,
(v № 0, x № 0) integrallab
ln v = 2 ln x , v=x²; v ni bu qiymatini (*) ga qo‟yib u

v x
ni aniqlaymiz.
_{х 2} du ₌ 3 _,
dx x ²

O‟zgaruvchilarni ajratamiz:

du = ³
_x 4


dx,


_т du = 3_т


x^-4 dx
u = - ¹
_x3

• 
  
  C;
  

u va v ning topilgan qiymatini y=uЧv ga qo‟ysak, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

у = u Ч v = (- ¹
_x3
+ C)x² = - ¹ + Cx ²
x

2-usul. Ixtiyoriy o’zgarmasni varitsiyalash usuli ( Lagranj usuli).

Bir jinsli bo‟lmagan (1) tenglamaning (b(x)№0) yechimini topish uchun dastavval unga mos bir jinsli (b(x)=0):

^dy + а(x) y = 0,
dx
(11)

tenglamani yechamiz, bu tenglama esa o‟zgaruvchilari ajraladigan tenglamadan iboratdir. Uning umumiy yechimi ( (5), (6) ga qarang):

-_т a( х)dх

у = Сe ,
(12)

Ravshanki, C – ixtiyoriy o‟zgarmasni o‟z ichiga olgan (12) tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya (1) tenglamani

yechimi bo‟la olmaydi, chunki (1) ni chap tomoniga (12) ni va uni hosilasini qoysak
(11) ga asosan nolga aylanadi, ammo o‟ng tomoni b(x) nolga teng emas, agarda C o‟zgarmasni x ning biror C=C(x) funksiyasi deb qaraydigan bo‟lsak,
-_т a( х)dх

у = С(х)e ,
(13)

funksiya C(x) ni tanlab olish hisobidan (1) tenglamani yechimi bo‟lishi mumkin. (13) funksiyani (1) tenglamani yechimiga aylantiruvchi noma‟lum C(x) funksiyani topish uchun

(13) funksiyani hosilasini hisoblaymiz:

du ₌ dС( x) _{Ч e}^-_т ^{a( х)dх} _{- С(x)e}^-_т ^{a( х)dх} _,
(14)

dx dx

13. va (14) ni (1) tenglamaga qo‟ysak:

    
    

^dС(x) Ч e-^т a( х)dх - С(x)a(x)e-^т a( х)dх + a(x)С(x)e-^т a( х)dх = b(x) dx

yoki

dС(x) _{Ч e}^-_т ^{a( х)dх} _{= b(x),} dx
(15)

o‟zgaruvchilari ajraladigan va C(x) noma‟lum funksiyali differensial tenglamaga ega bo‟lamiz: (15) ni umumiy yechimi:

1
С(x) = _тb(x)e^т a( х)dх dx + C ,

C₁=const (16)

C(x) ning topilgan ifodasini (13) tenglikka qo‟yib, (1) tenglamaning izlanayotgan umumiy

yechimini yana (9) ko‟rinishda hosil qilamiz:

• 
  
  
  _кт

  т ^й

  
  a( x)dx
  

у = e
л
b(x)e^т a( x)dxdx + C ^щ
1 _ъы

Bu usulning nomi ixtiyoriy o‟zgarmas C ni x o‟zgaruvchining C(x) funksiyasi deb o‟zgartirganimizdan (ya‟ni, uni variatsiyalaganimizdan) kelib chiqqan.

1-misol: yў-yctgx=2sinx chiziqli tenglamani ixtiyoriy o„zgarmasni variatsiyalash usuli bilan umumiy yechimini toping.

Yechish: Dastlab, chiziqli bir jinsli yў-yctgx=0 tenglamaning umumiy yechimini topamiz. O‟zgaruvchilarni ajratsak:

Bu tenglamani integrallab:

^dу - ctgxdx = 0,
y
y№0, x№kp, kОZ.

ln y - ln sin x = ln С

va bundan y=CЧsinx. Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz.

y= C(x) sinx va

^dy = ^dC(x) sin x + C(x) cos x.

dx dx

Natijada y va

^dy larning ifodalarini berilgan tenglamaga qo‟ysak:
dx

^dС(x) sin x + C(x) cos x - C(x) sin xctgx = 2sin x, dx
Yoki dC(x)=2dx, bundan esa C(x)=2x+C₁, C₁=const. Bir jinsli tenglamaning yechimidagi C(x) ning o‟rniga topilgan ifodasini qo‟yib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz: y=(2x+C₁)sinx.

2-misol:

^dy - ^{2 у} = x² , (x № 0)
tenglamani yeching.

dx x
Yechish. Bu tеnlаmаni yеchishdа to‟g‟ridan-to‟g‟ri (9) formuladan foydalanib yechamiz:

a(x) = - ² ,
x
b(x) = x²

² dx ^ж

• 
  
  ² dx ^ц
  

2 ln x ^ж

-2ln x ц

x
т
у = e
^з C + _т x ² e ^{т x}
_з 1
и
dx ^ч = e
ч
ш
з _2
з C₁ + _т x e
з

^ц 2 2 3 2
и
ч
dx _ч =
ч
ш

Demak,
2 ^ж 2

2

1
= x _з C₁ + _т x Ч

и

1
y = x³ + C x².

dx _ч = x (C₁ + _т dx)= x (C₁ + x)= x + C₁x x ш

3-misol. §1 ni 2⁰-punktida hosil qilingan
y ^' - ²
x
y = - ⁶
_x 2
tenglamaning yechini keltiramiz.

Bu tenglama birinchi tartibli chiziqli va uni yuqoridagi usul bilan integrallaymiz. Dastlab ozod hadsiz bir jinsli tenglamani qaraymiz:

y ^' = ² y . O‟zgaruvchilarni ajratib va integrallab
x

dy ₌ 2dx
Ю ln y
= 2 ln x + ln C
Ю y = Cx ² .

y x
Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz va berilgan tenglamaning yechimini y=C(x)x²ko‟rinishda izlaymiz, bu yerda C(x) hozircha noma‟lum funksiya. Natijada

y' = C'(x)x² + 2xC(x)
va y ni berilgan tenglamaga qo‟ysak:

C'(x)x² + 2xC(x) - ² C(x)x² = - ⁶
x x²
bundan

C'(x) = - ⁶
_x 4
bo‟ladi. Integrallab
C(x) = ²
_x3
+ C₁ ,
(C = const)
ni hosil qilamiz. C(x) o‟rniga

topilgan ifodasini qo‟yib, umumiy yechimini hosil qilamiz:

y = C(x)x² = ² + C x ²
yoki
xy = C x³ + 2
masala shartiga ko‟ra, egri chiziq
M (1;2)
nuqta

_x 1 1 0

orqali o‟tishi kerak bo‟ladi, buni e‟tiborga olsak:

1Ч 2 = С 1³ + 2 , bundan esa
C₁ = 0 va

1
izlanayotgan yechim (egri chiziq) xy=2 ko‟rinishdagi giperboladan iborat bo‟ladi.