Referat differensial tenglamalarning geologiyada qo’llanilishi

2⁰.O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.

O„ng tomoni ikkita funksiyaning ko„paytmasidan iborat bo„lib, ulardan biri faqat x ga bog‟liq, ikkinchisi esa faqat y ga bog‟liq bo„lsa, ya‟ni

yў=f(x)Чg(y), (1)
bunday ko„rinishdagi differensial tenglamaga o„zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi. (1) da f(x), xОX da, g(y) yОY da aniqlangan, berilgan uzluksiz funksiyadir, g(y)№0, "yОY. (1) tenglama o‟zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltirib yechiladi. Buni uchun (1) tenglamaning ikkala tomonini g(y)№0 ga bo„lamiz va dx ga ko„paytiramiz,

natijada o„zgaruvchilari ajralgan

dy ₌
g( y)
f (x)dx tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglikni

integrallab umumiy yechimini topamiz:

dy
_{т g( y)} = _т f (x)dx + C,


C = const

Agar y=y₀ da g(y₀)=0 bo„lsa, (y=y₀ОY), y₀- (1) ni yechimlaridan biri bo„ladi, chunki (y₀)ў=0 va f(x)Чg(y₀)= f(x)Ч0=0, ya‟ni (1) tenglama 0є0 ayniyatga aylanadi. (1) ni y(x₀)=y₀

^y ds ^x

boshlanag‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi esa _{т g(s)} = _т f (t)dt

ko‟rinishda

bo„lishini ko‟rsatish qiyin emas.

y₀ x₀

1-misol.

dy 1 + y ²
= differensial tenglamani umumiy yechimi topilsin.
dx 1 + x ²

Yechish: g(y)=1+y² yОR da hech qayerda nolga aylanmaydi, o„zgaruvchilarni ajratib integrallaymiz.

dy
^т1 + y ²
= ^dx + C

т
1 + х ^{2 1}

arctgy=arctgx+arctgC , (C₁=arctgC deb oldik), oxirgi tenglikni tangenslab umumiy yechimni hosil qilamiz.

_{у =} х + С
1 - хС

2-misol.

y' = ^y x
tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi. O‟zgaruvchilarni ajratib:

dy ₌ dx
( y № 0) , integrallab topamiz.

ln y = ln x + ln C ,

(C № 0) Ю

y x
y = Cx,

Agar
x₀ = 1,

y₀ = 1
yoki
y _x=1 = 1shartga mos xususiy yechimni topish kerak bo‟lsa,

y=Cx umumiy yechimdan, C=1 ni topamiz. Xususiy yechim esa: y=x bo‟ladi.

Endi x=0 da y=0, ya‟ni

y _x=0 = 0 shartga mos yechimni

topaylik. Umumiy yechim y=Cx dan 0 = С Ч 0 , bu tenglik C ning bitta emas, balki har qanday qiymatida o‟rinli bo‟ladi. Ya‟ni, (o,o) nuqtadan cheksiz ko‟p y=Cx to‟g‟ri chiziqlar

o‟tadi. Shu sababdan ham, (o,o) nuqta