Реферат по предмету «Физика» на тему Затухающие электромагнитные колебания, Уравнение Шредингера, Зонная теория твердого тело

Зонная твердых тел
Узнать поведение электронов в твердом теле можно в результате решения уравнения Шредингера для кристалла и определения энергии электронов в кристалле.
Твердые тела состоят из атомов (ядер и электронов). Стационарное состояние всех частиц описывается уравнением Шредингера:
, (1.1)
где  – гамильтониан, т.е. оператор полной энергии всего кристалла;
– собственная волновая функция электронов и ядер;
Е – полная энергия всех атомов твердого тела.
,
где  – радиус-вектор i-го электрона;
– радиус-вектор a-го ядра.
Для всей системы в отсутствии внешних воздействий:
(1.2)
Кинетическая энергия электронов:
, (1.3)
где оператор Лапласа: 
Кинетическая энергия ядер:
, (1.4)
где оператор Лапласа: 
Потенциальная энергия взаимодействия электрон-электрон:
(1.5)
Множитель  необходим во избежание двойного учета одних и тех же электронов.
Потенциальная энергия взаимодействия ядро-ядро:
(1.6)
Потенциальная энергия взаимодействия электрон-ядро:
(1.7)
В операторном виде уравнение Шредингера имеет вид:
(1.8)
Из-за большого числа переменных уравнение (1.8) не решается, так как нет соответствующего математического аппарата. Возможны упрощения: валентная аппроксимация, адиабатическое приближение и одноэлектронное приближение.
Валентная аппроксимация учитывает только валентные электроны, считая, что электроны внутри оболочек вместе с ядром образуют атомный остаток. Таким образом число переменных сокращается до 3N×v, где v – валентность атомов.
Для Si: 3N×v = 3×5×10²²×4 = 6,0×10²³.
Все равно задача остается многоэлектронной и не решается в квантовой механике.
Адиабатическое приближение (Борна-Оппенгейме-ра). Из-за большого различия масс ядер M_a и электронов m_i характер их движения различен. Ядра колеблются около положения равновесия, а электроны участвуют в поступательно-вращательном движении. Так как при термодинамическом равновесии их тепловая энергия (кинетическая энергия) одного порядка, то различие в скоростях  порядка 100 или даже 1000.
Таким образом можно рассматривать движение электрона в поле почти неподвижных ядер:  ,  = Const, координаты  фиксированы: R_0a.

Тогда уравнение Шредингера упрощается:
(1.9)
Оценки показывают, что ошибка в результате решения уравнения Шредингера для неподвижных ядер и для случая учета их медленного движения составляет порядка  (~ 0,3 % для Ge).
Одноэлектронное приближение (метод Хартри–Фо-ка). Идея метода заключается в том, чтобы попарное взаимодействие электронов заменить взаимодействием каждого электрона с усредненным потенциалом всех других электронов, т.е. от уравнения с большим числом слагаемых:
(1.10)
перейти к большому количеству уравнений Хартри:
, (1.11)
каждое из которых записано для одного электрона и усредненный потенциал:
.
Примем условия одноэлектронного приближения:
При слабом взаимодействии электронов:
, а  , т.е. волновая функция всех электронов – это произведение отдельных волновых функций, а полная энергия суммируется.
Чтобы найти явный вид W_i, (1.10) и (1.11) умножим на  и проинтегрируем по dt_e, затем вычтем (1.11) из (1.10):
. (1.12)
По условию ортонормировки остаются только одинаковые индексы:
AD

. (1.13)
Откуда
. (1.14)
W_i называется самосогласованным потенциалом и он вычисляется методом последовательных приближений.
Таким образом, теперь надо решать отдельные одноэлектронные уравнения типа (1.11), а полученные собственные значения Е_i затем сложить.