Реферат по теме «Модели атомных ядер»

2. Модели ядер

Классификация ядерных моделей.

При построении теории атомного ядра возникает целый ряд трудностей, которые препятствуют созданию последовательной теории атомного ядра.
1. В настоящее время недостаточно хорошо изучены силы взаимодействия между нуклонами в ядре. Количественная теория ядерных сил к настоящему времени не построена.
2. Ядро содержит достаточно большое число частиц. Это число частиц велико, чтобы к их описанию можно было бы применить динамический подход, основанный на использовании уравнений Шредингера. В этом случае мы должны решать систему из дифференциальных уравнений для большого числа функций, зависящих от множества переменных. Данная задача является практически неразрешимой. В свою очередь, число частиц в системе мало, чтобы к ней можно было применить статистические методы исследования и описывать систему с помощью небольшого числа макроскопических параметров таких, как температура, давление. Таким образом, атомные ядра занимают промежуточное положение между динамическими и статистическими системами, что приводит к большим затруднениям при построении теории атомного ядра.
Трудности, препятствующие построению теории ядра, приводят к необходимости создания различных моделей ядра. При создании той или иной модели ядра выделяют некоторые свойства ядра, которые хорошо описываются в данной модели, пренебрегая при этом рядом других свойств. Это приводит к тому, что все ядерные модели изначально имеют ограниченную область применимости и могут даже противоречить друг другу. Модели атомного ядра можно разделить на три группы:
1. Коллективные модели;
2. Одночастичные модели;
3. Обобщенные модели.
К коллективным моделям относятся: капельная, модель несферического ядра. К одночастичным моделям относятся: ядерный ферми-газ, оболочечная модель без остаточного взаимодействия, оболочечная модель с феноменологическим спариванием. К обобщенным моделям принадлежат: обобщенная модель со слабым взаимодействием, обобщенная модель с сильным взаимодействием.
Гидродинамическая (капельная) модель;
Эта простейшая модель была предложена М. Борном (1936 г.). В ней атомное ядро рассматривается как капля заряженной несжимаемой жидкости с очень высокой плотностью (~ 1014 г/см3). Капельная модель позволила вывести полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра и помогла объяснить ряд других явлений, в частности процесс деления тяжелых ядер.
Полуэмпирическая формула Вайцзеккера.
Еще в 1911 г. Резерфорд для объяснения рассеяния α-частиц предположил, что внутри атома имеется ядро шарообразной формы размером ~ 1012 см. Позднее в результате анализа эмпирически обнаруженной связи между временем жизни α-радиоактивных ядер и энергией испускаемых ими α-частиц удалось оценить радиус этих ядер. Оказалось, что для всех α-радиоактивных ядер: R = r0∙A1/3, r0 = (1.45-1.50) ∙10−13, A – массовое число
Предположим, что закон R ~ A1/3справедлив не только для α-радиоактивных ядер, но и для всех остальных ядер. Тогда масса любого ядра пропорциональна его объему (A ~ R3), и, следовательно, все ядра имеют одинаковую концентрацию нуклонов:

Одинаковую плотность:

и одинаковое значение среднего расстояния между нуклонами см. В последствии правильность такого предположения была доказана разнообразными методами определения радиусов атомных ядре.

То, что плотность ядерного вещества всех ядер постоянна, говорит о его несжимаемости. Это свойство сближает ядерное вещество с жидкостью. О такой аналогии свидетельствует также отмеченная ранее пропорциональность ΔE ~ A, которую можно сравнить с линейной зависимостью энергии испарения жидкости от её массы.
Вытекающее из постоянства средней энергии связи Eуд = ΔE/A свойство насыщения ядерных сил углубляет аналогию, так как подобным свойством обладают химические силы, связывающие молекулы жидкости. Все это позволяет построить капельную модель атомного ядра, по которой ядро представляет собой шарообразную каплю несжимаемой заряженной ядерной жидкости. Частицы этой жидкости взаимодействуют только с небольшим числом ближайших частиц.
Капельная модель атомного ядра помогла объяснить многие явления. С её помощью удалось получить полуэмпирическую для энергии связи и массы ядра, объяснить многие особенности деления тяжелых ядер и некоторые закономерности α-распада.
Посмотрим, каким образом при помощи капельной модели может быть получена формула, выражающая энергию связи и массу ядра через его массовое число, и заряд Z.
Выше было показано, что в первом приближении энергия связи ядра пропорциональна массовому числу A. Введем коэффициент пропорциональности α и запишем энергию связи в виде:

ΔEсв ~ αA.

В такой записи предполагается, что все нуклоны ядра равноценны. На самом деле это не верно, так как поверхностные нуклоны ядерной «капли» притягиваются только с одной (внутренней) стороны. Поэтому энергия связи ядра будет меньше αA на величину, пропорциональную поверхности капли:

ΔEсв ~ αA − βA2/3, β – коэффициент пропорциональности
Далее необходимо учесть кулоновское отталкивание протонов, которое должно быть пропорционально Z2 и обратно пропорционально r ~ A1/3. Оно так же уменьшает энергию связи:

γ – коэффициент пропорциональности.

Формула должна отражать наблюдающуюся в природе тенденцию к симметрии в строение атомных ядер. Эта симметрия в явном виде выступает в легких ядрах, которые, как правило, состоят из одинакового числа протонов и нейтронов. Это означает, что ядра с Z = A / 2 обладают наибольшей устойчивостью и, следовательно, имеют наибольшую энергию связи. Отклонение от равенства Z = A / 2 в любую сторону ведет к уменьшению энергии связи и учитывается в формуле членом вида:

ε – коэффициент пропорциональности.

Этот последний член полуэмпирической формулы не может быть объяснен с помощью капельной модели. Он появляется из-за того, что нейтрон и протон подчиняются принципу Паули. Как известно из атомной физики принцип Паули запрещает взаимодействие между тождественными частицами со спином ½ в некоторых состояниях. Благодаря этому среднее взаимодействие между двумя различными нуклонами больше, чем между двумя тождественными. Это означает, что при данном A образование системы из равного числа протонов и нейтронов (Z = N) энергетически выгоднее, чем из разного.
С учетом эффекта симметрии формула для энергии связи выглядит следующим образом:

Так как масса атома связана с энергией связи соотношением , то формула (2.23) позволяет производить также вычисления массы атомов:

Коэффициенты α, β, γ, ε были найдены при сопоставлении с (из сравнения измеренных значений масс атомов) энергиями связи. При этом коэффициент γ может быть найден непосредственным подсчетом электростатической энергии взаимного отталкивания Z протонов ядра.

Коэффициент ε может быть определен из соотношения, связывающего A и Z для стабильных ядер, имеющих при данном A наименьшую массу. Это соотношение получается, если продифференцировать выражение (2.24) по Z при постоянном A и приравнять производную нулю: ( δM/δZ )A = 0. При таком дифференцировании коэффициенты α и β исключаются, и коэффициент ε выражается через A и Z стабильного ядра и γ. Для контроля ε может быть найден по нескольким стабильным ядрам. Коэффициенты α и β находятся непосредственным сопоставлением с известными массами атомов.
В результате были найдены следующие значения коэффициентов:
α = 15.75 МэВ; β = 17.8 МэВ;
γ = 0.71 МэВ; ε = 94.8 МэВ
Формула (2.24) хорошо передает значения масс всех атомов с нечетным A. При этом достаточно точные значения масс (до второго знака после запятой) получаются не только для стабильных, но и для радиоактивных ядер. Однако для ядер с четным значением A формула (2.24) дает неправильные значения масс.
Выше уже отмечалось, что наиболее устойчивыми являются ядра с четным Z и четным N = A − Z. Более детальное рассмотрение этого вопроса показывает, что все ядра можно по их устойчивости разделить на три группы. В первую группу входят наиболее устойчивые четно-четные ядра; во вторую – менее устойчивые четно-нечетные и нечетно-четные ядра (с нечетным массовым числом A) и, наконец, в третью – нечетно-нечетные ядра, которые, как правило, нестабильны (известны только четыре стабильных ядра такого типа: 1H2, 3Li6, 5B10 и 7N14). В связи с этим масса атомных ядер с данным четным массовым числом A = 2n = const при последовательном изменении заряда ядер Z на единицу (переводящем ядро из первой группы в третью и наоборот) меняется не плавно, а скачкообразно. Такой характер изменения массы ядер с изменением Z не предусмотрен формулой (2.24), поэтому для четно-четных ядер она дает завышенное значение массы, а для нечетно-нечетных – заниженное. Чтобы формула правильно передавала значения масс всех ядер, в нее надо внести еще одно добавочное слагаемое δ, равное:

δ =

+|δ| – при четных A и Z; 0 – при нечетном A (Z - любое); -|δ| – при четном A и нечетном Z.

Сопоставление с известными значениями масс четно-четных ядер дает для δ величину: δ = 34 A-3/4 МэВ.

Формулы с δ-членом:

дают правильные (и достаточно точные) значения энергий связи (и масс) для очень многих ядер (больше сотни) как с нечетным A, так и с четным A. Это обстоятельство делает формулу универсальной и очень ценной для анализа различных свойств ядер.

Для точного подсчета энергии связи (по формуле (2.6)) необходимо знать массу протона mp, массу нейтрона mn и ядра – Mяд(A,Z), которые определяются с помощью масс-спектрометра и из анализа ядерных реакций.
Объяснить существование δ-члена в рамках развитой здесь капельной модели ядра нельзя. Его появление в формуле связано с существованием у нуклонов спинов, от взаимной ориентации которых несколько зависит интенсивность ядерного действия и, следовательно, значение энергии связи и массы.
Используя формулу (2.24) с известными коэффициентами можно легко найти условие, связывающее A и Z всех β-стабильных ядер. Действительно, формула (2.24) при постоянном A дает зависимость массы ядра от его заряда. Эта зависимость имеет параболический характер. Наиболее устойчивое ядро имеет наименьшую массу, и, следовательно, соответствующее ему Z0 может быть найдено методом определения минимума кривой. Дифференцируя выражение (2.24) по Z при постоянном A и приравнивая производную к нулю, получим формулу:

Модель несферического ядра

В несферической модели ядра без каких-либо объяснений постулируется несферическая равновесная форма ядра. В данной модели наряду с низшими колебательными уровнями энергии исследуются вращательные уровни энергии четно-четных ядер, которые отсутствуют у сферических ядер.
Рассмотрим случай ядра, которое обладает осевой симметрией. Такое ядро обладает вращательным энергетическим спектром. Вращательные энергии, отвечающие переходам ядра в основное состояние, задаются формулой


, (3.7)

где - момент инерции, = 0, 2, 4, …- полный спин. Четности всех вращательных состояний положительны.

Формула (3.7) не учитывает способность ядер деформироваться при их вращении. С учетом деформации ядер вращательные энергии определяются формулой


, (3.8)

где - коэффициент пропорциональности, подбираемый из экспериментальных данных. Аксиально несимметричные ядра имеют три вращательные степени свободы и их вращательные спектры имеют более сложный характер.

Ядерный ферми-газ
В этой модели рассматривается движение невзаимодействующих друг с другом нуклонов в области объемом V, в пределах которой потенциал считается постоянным. Одночастичные состояния нейтронов и протонов описываются плоскими волнами , где - спиновая функция нуклона, характеризующая величину проекции спина ( = ± 1/2) на ось квантования z, - импульс нуклона, - его радиус вектор и = 6,5820·10-22МэВ·сек - перечеркнутая постоянная Планка. Строго говоря, предположение, что одночастичные волновые функции имеют вид плоских волн, справедливо только для ядра, радиус которого R . Однако, если мы не рассматриваем влияние ядерной поверхности, оно может быть использовано и для конечного ядра. При этом необходимо учитывать, что в ограниченном объеме V возможен только дискретный набор значений вектора импульса = {px, py, pz}. Нужные собственные значения импульса и кинетической энергии нуклона E = p2/(2m) ; (m - масса нуклона) можно найти, вводя периодические граничные условия:


(x,y,z) = (x+L,y,z) = (x,y+L,z) = (x,y,z+L),

где L - длина ребра куба, имеющего объем V. Эти граничные условия дают собственные значения

px = (2π /L)nx, py = (2π /L)ny, pz = (2π /L)nz,

(2.1)

где nx, ny, nz - целые числа равные 0, ± 1, ± 2, ± 3,... и m - масса нуклона.

Н а каждом нейтронном (или протонном) уровне могут в соответствии с принципом Паули находится только два нейтрона (или протона), имеющие разные проекции спина (см. рис. 2.1). В основном состоянии ядра N нейтронов и Z протонов занимают самые низшие энергетические уровни. Граница, разделяющая заполненные и незаполненные одночастичные уровни, называется границей (уровнем) Ферми. Отвечающие ей максимальные величины импульсов для нейтронов и протонов обозначаются символами и . Максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми. Она равна

(2.2)

для нейтронов и протонов, соответственно.

Рис. 1 - Нейтронные и протонные одночастичные уровни энергии в модели ферми-газа. Протонная потенциальная яма мельче, чем нейтронная яма, из-за действия кулоновских сил (EС - кулоновская энергия протона). Эти же силы обуславливают возникновение кулоновского барьера для протонов, которые стремятся вылететь из ядра или проникнуть в него снаружи. BN - энергия отделения нейтрона

Элемент объекта в импульсном пространстве d3p = dpxdpydpz в сферической системе координат можно записать в виде d3p = р2sinθdpdφdθ. Если ориентация вектора p не существенна, то интегрирование по углам дает d3p = 4πp2dp. Согласно (2.1) среднее число одночастичных состояний нейтрона или протона (d3n = dnxdnydnz) в элементе импульсного пространства d3p дается выражением

d3n = [2·4πVp2/(2π )3]dp = (8πVp2/h3)dp,

(2.3)

где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина нуклона. Поэтому полное число нейтронов и протонов в ядре может быть представлено в виде

Откуда находим

= (3π2 3N/V)1/3, и = (3π2 3Z/V)1/3.

(2.4)

Подставляя в (2.4) V = (4/3)πR3, где R = r0A1/3 - радиус ядра и считая, что ядро симметрично по нейтронам и протонам (N = Z = A/2), получим следующую оценку импульса Ферми

pf = = = ((9 )/(8r0))1/3 = 8.1·10-22 МэВ·с/ферми,

(2.5)

где для r0 принято значение 1.2 ферми.

Соответствующая энергия Ферми равна (см. (2.2))

Ef = = = 32 МэВ.

(2.6)

Если судить по найденной величине энергии Ферми, то в экспериментах при малых и средних энергиях ядро может рассматриваться как сильно вырожденный ферми-газ (т.е. температура его близка к абсолютному нулю). Лишь при энергиях ~AEf ~ 103 МэВ будет возбуждаться заметная часть всех нуклонов.

С помощью соотношения (2.6) можно оценить глубину V0 нуклонной потенциальной ямы. Так как средняя энергия связи нуклона в ядре ~8 МэВ (см. рис. 1.2), то (см. рис. 2.1) получаем значение V0 32 + 8 = 40 МэВ. Полную кинетическую энергию ферми-газа получим путем суммирования по всем занятым нейтронным и протонным одночастичным состояниям:

(2.7)

Это дает в приближении (2.5), (2.6) величину Eпол (3/5)AEf. Откуда находим, что средняя кинетическая энергия нуклонов в ядре Eср = Eпол/A 20 МэВ.

Полученные оценки величин V0 и Eср неплохо согласуются со значениями глубины потенциальной ямы и средней кинетической энергии нуклонов, найденными в других - более строгих теоретических рассмотрениях. Такой успех модели ферми-газа объясняется тем, что ядро, как отмечалось выше, находится в сильно вырожденном состоянии. Принцип Паули препятствует обмену энергией сталкивающихся нуклонов (нуклон не может потерять энергию, так как нижележащие одночастичные состояния заполнены), поэтому картина движения нуклонов в ядре действительно напоминает движение молекул газа в ограниченном объеме. Модель ферми-газа позволяет также качественно объяснить почему легкие и средние стабильные ядра имеют N Z. Из формул (2.2), (2.4), (2.7) вытекает, что ядро с фиксированным значением A имеет минимальную энергию при N = Z = A/2. Это особенно очевидно из соотношения

Eпол (3/5)AEf + (4/3)Ef (A/2 - Z)2/A,

(2.8)

которое получается путем разложения величины (2.7) в ряд по малому параметру (A/2 - Z)/A для фиксированного значения A. Симметрия ядра по нейтронам и протонам нарушается из-за кулоновского отталкивания протонов, что приводит к избытку нейтронов в тяжелых ядрах (N > Z).

Область применения модели ферми-газа все же не очень велика, поскольку она совершенно не учитывает индивидуальных особенностей ядер. Кроме перечисленного, модель ферми-газа еще используется при интерпретации данных ядерных реакций, чувствительных к распределению нуклонов внутри ядра по импульсу.
Оболочечная модель
Оболочечная модель ядра - теория, основанная на представлении о ядре как о системе нуклонов, движущихся в некотором среднем потенциальном поле, создаваемом другими нуклонами.
Эта теория появилась в 1930-х годах по аналогии с атомной моделью оболочек, согласно которой электроны наполняют электронные оболочки, и, как только оболочка заполнена, значительно понижается энергия связи для следующего электрона. При увеличении количества нуклонов (протонов или нейтронов) в ядре существуют определенные числа, при которых энергия связи следующего нуклона намного меньше, чем последнего. Особой устойчивостью отличаются атомные ядра, содержащие магические числа 2, 8, 20, 28, 50, 82, 114, 126, 164 для протонов и 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 184, 196, 228, 272, 318 для нейтронов. Протонные и нейтронные оболочки в таких ядрах заполнены, как и электронные у атомов благородных газов. Согласно оболочечной модели ядра, каждый нуклон находится в ядре в определенном индивидуальном квантовом состоянии, характеризуемом энергией, моментом вращения j его проекцией m на одну из координатных осей и орбитальным моментом вращения. Энергия уровня не зависит от проекции момента вращения на внешнюю ось. Полный момент вращения заполненной оболочки равен нулю. Поэтому если ядро составлено только из заполненных протонных и нейтронных оболочек, то его спин будет также равен нулю. Всякий раз, когда количество протонов или нейтронов достигает магического числа, отвечающего заполнению очередной оболочки, возникает возможность скачкообразного изменения некоторых характеризующих ядро величин (в частности, энергии связи). Это создает подобие периодичности в свойствах ядер в зависимости от A и Z, аналогичной периодическому закону для атомов. В обоих случаях физической причиной периодичности является Принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном и том же состоянии. Однако оболочечная структура у ядер проявляется слабее, чем в атомах. Это происходит главным образом потому, что в ядрах индивидуальные квантовые состояния частиц («орбиты») возмущаются взаимодействием («столкновениями») их друг с другом гораздо сильнее, чем в атомах. Известно, что большое число ядерных состояний не похоже на совокупность движущихся в ядре независимо друг от друга нуклонов, то есть не может быть объяснено в рамках оболочечной модели.
В этой связи в оболочечную модель вводится понятие квазичастиц — элементарных возбуждений среды, эффективно ведущих себя во многих отношениях подобно частицам. При этом атомное ядро рассматривается как ферми-жидкость конечных размеров. Ядро в основном состоянии рассматривается как вырожденный ферми-газ квазичастиц, которые эффективно не взаимодействуют друг с другом, поскольку всякий акт столкновения, изменяющий индивидуальные состояния квазичастиц, запрещен принципом Паули. В возбужденном состоянии ядра, когда квазичастицы находятся на более высоких индивидуальных энергетических уровнях, эти частицы, освободив орбиты, занимавшиеся ими ранее внутри ферми-сферы, могут взаимодействовать как друг с другом, так и с образовавшейся дыркой в нижней оболочке. В результате взаимодействия с внешней квазичастицей может происходить переход квазичастиц из заполненных состояний в незаполненное, вследствие чего старая дырка исчезает, а новая появляется; это эквивалентно переходу дырки из одного состояния в другое. Таким образом, согласно оболочечной модели, основывающейся на теории квантовой ферми-жидкости, спектр нижних возбужденных состояний ядер определяется движением квазичастиц вне ферми-сферы и взаимодействием их друг с другом и с дырками внутри ферми-сферы. Этим самым объяснение структуры многонуклонного ядра при небольших энергиях возбуждения фактически сводится к квантовой проблеме взаимодействующих тел (квазичастица — дырка или две квазичастицы — две дырки). Трудность теории состоит в том, что взаимодействие квазичастиц и дырок не мало, и потому нет уверенности в невозможности появления низкоэнергетического возбужденного состояния, обусловленного большим числом квазичастиц вне ферми-сферы.
В других вариантах оболочечной модели вводится эффективное взаимодействие между квазичастицами в каждой оболочке, приводящее к перемешиванию первоначальных конфигураций индивидуальных состояний. Это взаимодействие учитывается по методике теории возмущений справедливой для малых возмущений. Внутренняя непоследовательность такой схемы состоит в том, что эффективное взаимодействие, необходимое теории для описания опытных фактов, оказывается отнюдь не слабым. Кроме того, увеличивается число эмпирически подбираемых параметров модели. Также оболочечные модели модифицируются иногда введением различного рода дополнительных взаимодействий (например, взаимодействия квазичастиц с колебаниями поверхности ядра) для достижения лучшего согласия теории с экспериментом.
Оболочечная модель ядра является полуэмпирической схемой, позволяющей понять некоторые закономерности в структуре ядер, но не способной последовательно количественно описать свойства ядра. В частности, ввиду перечисленных трудностей непросто выяснить теоретически порядок заполнения оболочек,а следовательно, и магические числа, которые служили бы аналогами периодов таблицы Менделеева для атомов. Порядок заполнения оболочек зависит от характера силового поля, которое определяет индивидуальные состояния квазичастиц, и от смешивания конфигураций. Последнее обычно принимается во внимание лишь для незаполненных оболочек. Наблюдаемые на опыте магические числа общие для нейтронов и протонов (2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126) отвечают квантовым состояниям квазичастиц, движущихся в прямоугольной или осцилляторной потенциальной яме со спин-орбитальным взаимодействием (именно благодаря ему и возникают числа 28, 40, 82, 126).
Обобщенная модель
Ограничусь рассмотрением предельного варианта этой модели, в котором предполагается:
Сильная связь внешних, по отношению к заполненным оболочкам, нуклонов с поверхностью остова, в результате чего возникает устойчивая равновесная деформация ядра. При этом будем считать, что деформированное ядро имеет форму эллипсоида вращения.
Выполнение условия адиабатичности (медленности) вращения деформированного ядра по отношению к характерным скоростям внутреннего движения: вращ<< внутр.
Возможность приближенного описания движения нуклонов во внутренней, вращающейся системе координат в рамках одночастичной оболочечной модели путем введения деформированной потенциальной ямы.
В рассматриваемой модели учитываются два типа ядерных движений: коллективное вращение ядра относительно внешней системы координат (x, y, z), обусловленное его деформацией, и одночастичное движение нуклонов относительно внутренней, вращающейся системы координат (1,2, 3) в деформированной потенциальной яме.
Полный момент количества движения ядра складывается из коллективного вращательного момента ядра и внутреннего момента нуклонов ':


= + '
ядро сила нуклон энергия
Моменты 'и прецессируют вокруг направления полного момента количества движения . Так как аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро может вращаться только вокруг оси перпендикулярной к оси симметрии 3, то из этого вытекает (см. рис. 6.1), что вектор перпендикулярен оси 3 и проекции полного и внутреннего угловых моментов на ось симметрии должны быть равны между собой:

J3 = J'3 = K

Рис. 2 - Сложение моментов в сфероидально деформированном ядре

Раньше шла речь о том (см. раздел 4), что момент количества движения в квантовой механике характеризуют двумя квантовыми числами: величиной J и проекцией M на некоторую фиксированную ось квантования z. Более точно фиксировать направление углового момента в пространстве нельзя. Однако, если физическая система обладает аксиальной симметрией, ее угловой момент может иметь определенные проекции (M, K) одновременно и на неподвижную ось z и на вращающуюся ось симметрии 3. Появление нового квантового числа K обусловлено дополнительной ротоционной симметрией системы.

Итак, состояние движения аксиально-симметричного ядра (| JMK>) можно характеризовать набором квантовых чисел , J, M, K, где - квантовые числа, определяющие, наряду с K, внутреннее состояние нуклонной системы (это может быть, например, перечень одночастичных уровней деформированного потенциала, занимаемых нуклонами в рассматриваемом состоянии). Энергетические уровни ядра (2J + 1) раз вырождены по квантовому числу M, так как энергия ядра не зависит от ориентации спина относительно внешней системы координат. Проекция K полного углового момента на ось симметрии создается за счет внутреннего движения нуклонов (см. (6.2)), поэтому энергия ядра, вообще говоря, зависит от квантового числа K. Однако, в таком ядре будут вырождены состояния, отличающиеся только знаком K, так как выбор положительного направления оси 3 физически не определен: аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро обладает плоскостью симметрии перпендикулярной к оси 3. На самом деле, из двух вырожденных (± K)-состояний нужно построить одно истинное ядерное состояние, являющиеся их линейной комбинацией, которое остается инвариантным при отражениях в плоскости симметрии и поворотах на вокруг оси перпендикулярной к оси 3. Поэтому мы будем считать, что волновая функция ядра характеризуется K > 0. Ниже мы покажем, что каждое внутреннее состояние с определенным значением K > 0 может стать основой для возникновения серии вращательных уровней.
Полную энергию деформированного ядра можно представить в виде суммы энергии коллективного вращения относительно внешней системы координат и энергии движения нуклонов относительно внутренней системы координат:

E = ( 2)/(2 ) + Eодн = ( - ')2/(2 ) + Eодн = Eвращ + Eвнутр + Eвзаим (6.3)

Eвращ = ( 2 - J23)/(2 ) (6.4)

- собственно вращательная энергия (этот член зависит только от угловых, коллективных переменных, характеризующих ориентацию ядра относительно внешней системы координат);

(6.5)

- внутренняя энергия ядра (она зависит только от переменных, характеризующих движение нуклонов во внутренней системе координат);

Eвзаим = -2(J1J'1 + J2J'2)/(2 ) (6.6)

- член, который описывает взаимодействие внутренних и вращательных степеней свободы (так называемое взаимодействие Кориолиса).

В квантовой механике величине (6.3) ставится в соответствие оператор энергии, называемый также гамильтонианом; при этом угловые моменты и ' рассматриваются как операторы (см. определение оператора проекции момента количества движения в разделе
Оператор Евзаим, вообще говоря, смешивает различные внутренние состояния ядра друг с другом. Действительно, входящие в Евзаим операторы проекций угловых моментов J1, J'1,... меняют проекцию K угловых моментов и ' на ось симметрии 3 (см. 6.2) на величину K = ± 1. Поэтому силы Кориолиса могут смешивать внутренние нуклонные состояния, у которых значения К отличаются на 1. Мера энергетического воздействия сил (6.6) на внутреннее движение нуклонов определятся величиной ~ 2/(2 ) ~ 2ωвращ. Характерная энергия перехода для смешиваемых состояний равна |Eодн(К) - Еодн(К ± 1)|. Из этого следует, что взаимодействием внутреннего и вращательного движения нуклонов можно пренебречь тогда и только тогда, когда выполняется условие адиабатичности ωвращ<< ωвнутр = |Eодн(К) - Еодн(К ± 1)|. Это условие, как правило, выполняется для четно-четных ядер, но нередко нарушается для деформированных ядер с нечетным значением массового числа А, свойства которых, как и сферических нечетных ядер, определяются одночастичным состоянием нечетного неспаренного нуклона (см. ниже). Как видно из рис. 6.5, в деформированном потенциале энергетическое расстояние между уровнями с K = 1 может быть очень мало (~ ωвращ), в результате чего при описании нечетных ядер часто возникает необходимость учета взаимодействия вращательных и внутренних степеней свободы ядра. Дальнейшее рассмотрение этой проблемы выходит за рамки данного обзора, поэтому мы будем предполагать, что условие адиабатичности выполняется (см. допущение 2). В этом случае проквантованная энергия деформированного сфероидального ядра может быть найдена как среднее от оператора энергии (6.3) по состоянию движения нуклонов | JMK>. Так как при адиабатическом вращении внутреннее состояние ядра не меняется, то при усреднении получим следующий результат:

E = { 2[J(J + 1) - K2]/(2A ) + K,1/2A(J)}+ Eвнутр (6.7)

где A(J) = (Eвзаим)ср. при К=1/2 - поправка к вращательной энергии, возникающая в состояниях сК =1/2 из-за действия сил Кориолиса, K,1/2 - символ Кронекера. Происхождение поправки A(J) легко понять. Действительно, силы Кориолиса, как отмечалось выше, меняют проекцию K угловых моментов и ' на ось симметрии ядра на величину K = ± 1. Поэтому при действии оператора Евзаим на состояние | JMK> будут рождаться состояния | JMK+1>и | JM|K-1|> (напомним, что каждое истинное ядерное состояние представляет суперпозицию ± К компонент, вследствие чего характеризуется модулем квантового числа К). Если ни одно из этих состояний не идентично исходному состоянию, то среднее от оператора Евзаим по состоянию| JMK> будет равно 0. Это имеет место при К > 3/2. При К = 1/2 состояние | JMK> = | JM|K-1|>,поэтому A(J) = (Eвзаим)ср. при К=1/2 0. Поправка A(J) должна быть линейной функцией J, так как оператор Eвзаим зависит от проекций углового момента линейным образом. Ее конкретное значение зависит от структуры внутренней волновой функции состояния | JMK=1/2>.

Из формулы (6.7) видно, что каждое внутреннее состояние, характеризуемое энергией Евнутр и проекцией J'3 = K внутреннего момента количества движения на ось симметрии ядра, может стать основой для возникновения серии вращательных уровней, которые обычно называют вращательной полосой. Если K > 0 угловые моменты вращательных состояний могут принимать значения J = K, K + 1, K + 2,... При K = 0 возможны только четные значения угловых моментов вращательных состояний: J = 0, 2, 4, 6,... (доказательство этого результата полностью аналогично доказательству, проведенному в разделе 5.2 для аксиально-симметричного ротатора). На рисунках 6.2 и 6.3 показаны экспериментальные примеры вращательных полос, базирующихся на разных внутренних состояниях нечетного и четно-четного ядер.



Рис. 3 - Энергетические уровни ядра 249Bk. Слева изображены все наблюдаемые уровни в энергетическом интервале 0-600 КэВ. Справа приведено разбиение этих уровней на три вращательных полосы

Рис. 4

Займемся далее проблемой описания внутреннего движения нуклонов во вращающейся системе координат (1, 2, 3). В соответствии с допущением 3) внутреннее движение можно приближено свести к одночастичному движению нуклонов в аксиально-симметричном деформированном потенциале. В качестве такового будем использовать деформированный потенциал Нильссона (1955 г.):

(6.8)

где x1, x2 и x3 - координаты нуклона во внутренней системе координат.

Первый член в выражении (6.8) является потенциалом деформированного трехмерного гармонического осциллятора (ср. с (4.4)), частоты колебаний которого в направлении оси симметрии ( 3) и в направлении перпендикулярном к ней ( ) не совпадают между собой. К нему добавляется обычный спин-орбитальный член и член, который учитывает реальную радиальную зависимость оболочечного потенциала, опуская вниз одночастичные уровни энергии с большим орбитальным моментом l (D < 0).
Частота одночастичных колебаний в первом приближении обратно пропорциональна размеру ядра в том направлении, в котором происходят колебания (см. упражнение 6.1). Пусть деформированное ядро имеет полуось a = R0(1 + 2ε/3) вдоль оси симметрии эллипсоида и полуось b = R0(1 - /3) в направлении перпендикулярном ей, где ε- параметр деформации (см. упражнение 3.5). Тогда, пренебрегая членами порядка ε2, будем иметь

ω3 1/a = 1/[R0(1 + 2ε/3)] R0-1(1 - 2ε/3) и 1/b = 1/[R0(1 - ε/3)] R0-1(1 + ε/3).

Следовательно, мы можем определить частоты 3 и с помощью соотношений

3=ω(1-2 /3), = ω(1 + /3),

(6.9)

где ω - частота колебаний сферического гармонического осциллятора.

При малых значениях выполняется соотношение 3 2 = 3, что соответствует сохранению объема ядра. Параметр был определен ранее (см. (4.5)). Параметры C и D подбираются так, чтобы при = 0 наилучшим образом воспроизводилась последовательность уровней сферического оболочечного потенциала (см. рис. (4.2)). Это дает следующие значения:

С -0.1 ω D -0.02 ω.

(6.10)

Рисунки 4 и 5 показывают как меняется энергетический спектр одночастичных состояний в потенциале Нильссона в зависимости от величины параметра деформации . При = 0 картина уровней такая же как в сферическом оболочечном потенциале. Возникновение аксиально-симметричной деформации снимает, с точностью до знака, вырождение по квантовому числу m K. В результате каждая nlj орбита расщепляется на (2j + 1)/2 двукратно вырожденных энергетических уровня в соответствии со значениями K = j, j - 1,...1/2 > 0. На каждом таком уровне могут находиться не более двух нуклонов одного сорта, отличающихся знаком (± K) проекции углового момента на ось симметрии 3.

Рис. 5 - Одночастичные уровни энергии в сфероидальном потенциале Нильссона при 2 < N, Z < 20. Уровни с положительной четностью изображены сплошными, а с отрицательной - штриховыми линиями. В квадратных скобках указаны асимптотические квантовые числа N, n3, и K


Рис. 6 - Протонные одночастичные уровни энергии в вытянутом сфероидальном потенциале Нильссона при 50 < Z < 82

При движении нуклона в сфероидально деформированном потенциале строго сохраняются только две физические величины - проекция K углового момента нуклона на ось симметрии и четность . К ним можно добавить приближенно сохраняющуюся величину N - полное число квантов колебаний. В самом деле, действие деформации на одночастичное движение нуклона характеризуется энергией ( - 3) = . С другой стороны, из-за сохранения четности, N может меняться самое малое на две единицы ( = (-1)N в трехмерном осцилляторе - см. раздел 4.2), что предполагает переход между уровнями осциллятора, разделенными энергией 2 >> . Следовательно, с хорошей точностью можно пренебречь несохранением квантового числа N.

При малых деформациях одночастичные состояния можно характеризовать сферическими квантовыми числами l и j. С возрастанием состояния с различными l и j (но с одинаковыми K и четностью) начинают взаимодействовать друг с другом, поэтому задача описания одночастичных состояний сильно усложняется. Она снова упрощается, когда деформация становится большой ( > 0.3). В этом случае одночастичные волновые функции в потенциале (6.8) приблизительно совпадают с одночастичными волновыми функциями анизотропного осцилляторного потенциала (первый член в (6.8)), так как при больших члены C и D 2 можно трактовать как возмущения к деформированному осцилляторному потенциалу и заменить на их средние значения по соответствующему одночастичному состоянию.
В пределе больших деформаций одночастичные состояния можно характеризовать асимптотическими квантовыми числами:
, n3, , или N, n3, , K,
где n3 - число квантов колебаний вдоль оси симметрии; = n1 + n2 - число квантов колебаний в направлениях перпендикулярных оси симметрии; N = n3 + - полное число осцилляторных квантов; , , K = + - проекции спинового, орбитального и полного моментов количества движения нуклона на ось симметрии ядра.
При усреднении спин-орбитального взаимодействия получаем

C( )ср = 2C ,

(6.11)

Из этого выражения видно, что при больших деформациях будут энергетически разделяться одночастичные уровни с > 0, K = - 1/2 > 0, в которых проекции орбитального и спинового моментов нуклона на ось симметрии имеют разные знаки и уровни с > 0, K = + 1/2 > 0, в которых эти проекции имеют одинаковые знаки

На рисунках 6.4 и 6.5 асимптотические квантовые числа N, n3, , K показаны в квадратных скобках. Как видно из рисунков, для уровней с фиксированным значением N при больших положительных деформациях (вытянутое ядро) четко прослеживается тенденция уменьшения величины энергии уровня с ростом числа продольных квантов n3, что находится в согласии с тем фактом, что в вытянутом ядре 3 < (см. (6.9)). Влияние спин-орбитального взаимодействия при больших деформациях иллюстрируют пары орбит [1 0 1 3/2], [1 0 1 1/2]; [2 1 1 3/2], [2 1 1 1/2]; [2 0 2 5/2], [2 0 2 3/2] на рис. 6.4, а также орбиты [4 1 3 7/2], [4 1 3 5/2]; [4 1 1 3/2], [4 1 1 1/2]; [4 0 4 9/2], [4 0 4 7/2];... на рис. 6.5.
Ранее отмечалось (см. раздел 4.3), что одночастичная оболочечная модель не может быть использована для описания основных и низколежащих возбужденных состояний ядер, имеющих устойчивую деформацию. Обобщенная модель снимает это ограничение. Согласно этой модели в основном состоянии сфероидального ядра нуклоны заполняют все низшие уровни энергии деформированного потенциала. Если ядро четно-четное, то на каждой заполненной нейтронной (протонной) орбите будут находиться по два нейтрона (протона) с разными знаками проекции углового момента на ось симметрии. В результате основное состояние четно-четного ядра будет иметь положительную четность и нулевую проекцию внутреннего углового момента на ось симметрии ядра:

Из этого вытекает, что спин J этого состояния также должен равняться нулю, так как оно служит основой для вращательной полосы с K = 0 и J = 0, 2, 4, 6,...

Спин и четность основного состояния ядра с нечетным A будут определяться значениями квантовых чисел одночастичного уровня, на котором находится последний непарный нуклон. На основном состоянии нечетного ядра базируется вращательная полоса с фиксированным K 0 и J = K, K+1, K+2...
Невращательные возбужденные состояния деформированных ядер образуются при переходе нуклонов с заполненных на незаполненные орбиты, расположенные выше уровня Ферми (последнего уровня, заполненного в основном состоянии).
Приведем пример использования обобщенной модели для описания спина и четности основных состояний легких деформированных ядер. Рассмотрим нечетные ядра, приведенные в первом столбце таблицы 6.1. Согласно одночастичной оболочечной модели со сферическим потенциалом все они должны иметь в основном состоянии спин-четность Jπ = (5/2)+, так как заполняется орбита 1d5/2 (см. схему уровней на рис. 4.2). Однако, это противоречит экспериментальным данным, как видно из сравнения столбцов 4 и 5 таблицы 1.

Таблица 1

Спин и четность основных состояний легких деформированных ядер
Ядро	Z	N	Jπ в основном состоянии
			эксп.	обол. мод.	обобщ. мод.
19F	9	10	(1/2)+	(5/2)+	(1/2)+
21Ne	10	11	(3/2)+	(5/2)+	(3/2)+
21Na	11	10	(3/2)+	(5/2)+	(3/2)+
23Na	11	12	(3/2)+	(5/2)+	(3/2)+
23Mg	12	11	(3/2)+	(5/2)+	(3/2)+
25Mg	12	13	(5/2)+	(5/2)+	(5/2)+
25Al	13	12	(5/2)+	(5/2)+	(5/2)+

Наблюдаемое несоответствие теории и эксперимента объясняется тем, что при заполнении оболочки 8 < N, Z < 20 возникает вытянутая сфероидальная деформация ядерной поверхности сε δ 0.1 (см. рис. 5.4). В результате спин J основного состояния ядра с нечетным A определяется значением квантового числа K орбиты деформированного потенциала, на которую попадает непарный нуклон при данной деформации. Ядро 19F имеет четное число нейтронов и нечетное число протонов (см. столбцы 2 и 3 таблицы). Нечетный непарный протон размещается на орбите [2 2 0 1/2] c Kπ = (1/2)+ (см. рис. 6.4), поэтому основное состояние этого ядра согласно обобщенной модели имеет Jπ = (1/2)+ (см. последний столбец таблицы). В ядрах 21Ne, 21Na, 23Na и 23Mg непарная частица (нейтрон или протон) попадает на орбиту [2 1 1 3/2], поэтому эти ядра имеют в основном состоянии Jπ = (3/2)+. Наконец, ядра 25Mg и 25Al имеют по пять частиц нечетной нуклонной компоненты в оболочке 8 < N, Z < 20. Четыре из них заполняют орбиты [2 2 0 1/2] и [2 1 1 3/2], а пятая, непарная располагается на орбите [2 0 2 5/2], вследствие чего спин-четность основных состояний ядер 25Mg и 25Al равняется (5/2)+.

Мы рассмотрели простейший вариант обобщенной модели, который отличается от одночостичной оболочечной модели главным образом введением статической деформации среднего ядерного поля, приводящей к возникновению вращательных степеней свободы ядра. В более совершенных вариантах обобщенной модели учитываются также коллективные степени свободы, связанные с вибрациями ядерной поверхности около равновесной деформированной формы. Характерным примером таких вибраций может служить уровень энергии 821.19 КэВ ядра168Er (см. рис. 6.3), на котором основывается вращательная полоса Kπ = 2+. Подобные состояния обнаружены почти у всех четно-четных деформированных ядер. Все они интенсивно распадаются в результате квадрупольных электромагнитных переходов на уровни основной вращательной полосы Kπ = 0+ и интерпретируются как коллективные возбуждения ядра, обусловленные поперечными квадрупольными колебаниями ядерной поверхности относительно аксиально-симметричной равновесной формы. Более совершенные варианты обобщенной модели рассматривают также взаимодействие между разными вращательными полосами, вызываемое силами Кориолиса, о важности учета которого для нечетных ядер говорилось выше. Наконец, как и оболочечная модель, обобщенная модель может быть усовершенствована путем учета смешивания различных нуклонных конфигураций остаточными силами.