Реферативно-исследовательская работа: Решение нестандартных задач

Нестандартная техника решения неравенств с модулем
Задание 1. Для всех значений параметра р решить неравенство
3 |х–р | + 5|х–3р | + 4х + 6р+ 12 < 0. (*)
Решение

Ответ: если р ≤ 1,то 6р + 3 ≤ х ≤ р–2;
если р > –1, то решений нет.

Используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Посмотрите, например, как система одного неравенства и совокупности двух неравенств преобразуются к одному равносильному уравнению.

или f₃<0
В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения.


Первые четыре утверждения объявляют переход от любого неравенства к равносильному уравнению. Последние четыре утверждения обеспечивают аналогичный равносильный переход от систем и совокупностей.
Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

Задание 2. Решите неравенство
|2х–|х–2||≤3.
Решение
│f│≤ поэтому |2х–|х–2||≤3
Первое неравенство в системе относительно | х – 2 | имеет вид |f| ≥ g, а второе имеет вид |f| ≤ g из-за знака «минус» перед модулем. Потому, не тратя времени на переносы из левой части в правую, получаем

Ответ:
Задание 3. Решите неравенство |3х+2|+|2х-3|<11.
Решение.
Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид |f|
Ответ: (–2; 2,4).
Тригонометрические уравнения
Задание 1
Решите уравнение: sin³x sin3x + cos³х cos3x = cos³4х.
Решение:
Преобразуем произведения в левой части уравнения в суммы и упростим получающееся уравнение:
sin²x(sinх sin3x) + cos²х(cosx cos3х) = cos³4x,

(1 – cos2x)(cos2x – cos4х) + (1 + cos2x)(cos2x + cos4x) = 4cos³4x,
2cos2x + 2cos2xcos4x = 4cos³4x, cos2x( 1 + cos4x) = 2cos³4x,
2cos³2x = 2cos³4x, cos2x = cos4x, cos2x – cos4x = 0,
2sin3x sinх = 0.
Отсюда или х=nπ ( ).Очевидно, первая формула содержит в себе вторую (при к, делящемся на 3), поэтому множество всех корней уравнения задается первой формулой.
Ответ: