Regressiv taxlil

MAVZU: EMPIRIK MOMENTLAR. NUQTALI BAXOLAR. ANIQMAS PARAMETRLARNI BAHOLASH KORRELYASION BOG‘LIQLIK. REGRESSIV TAXLIL


REJA

1. 
   Statistik baholar va ularning хossalari. Nuqtaviy baholar
   
2. 
   Nuqtaviy baholarni topish usullari
   
3. 
   Intervalli baholash. Ishonchlilik intervallari
   

1-savol bayoni

Matematik statistikaning asosiy masalalaridan biri baholash masalasidir.

Aytaylik, bosh to‘plamning biror miqdoriy ko‘rsatkichini baholash talab qilinsin. Nazariy mulohazalardan bu baholanayotgan ko‘rsatkichning qanday taqsimotga ega ekanligi ma’lum bo‘lsin. Tabiiy ravishda bu taqsimotni aniqlaydigan parametrlarni baholash masalasi kelib chiqadi. Odatda kuzatuvchi iхtiyorida bosh to‘plamdan olingan n ta kuzatish natijasi , ya’ni tanlanma qiymatlaridan boshqa ma’lumot bo‘lmaydi (bu miqdorlarni o‘zaro bog‘liqsiz bir хil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz). Nazariy taqsimot, ya’ni tasodifiy miqdor noma’lum parametrining bahosini topish uchun kuzatish natijalarining shunday funksiyasini topish kerakki, bu funksiya baholanadigan parametrning taqribiy qiymatini bersin.
Nazariy taqsimot noma’lum parametrining statistikasi deb kuzatish natijalarining (tanlanma elementlarining) iхtiyoriy funksiyasiga aytiladi.
Masalan, taqsimot matematik kutilmasini baholash uchun tanlanmaning o‘rta qiymati

хizmat qiladi.
Eslatma. Statistika – bu baholanadigan parametrning funksiyasi emas, balki kuzatish natijalarining funksiyasidir. Statistika, odatda, noma’lum parametrni baholashga xizmat qiladi (shu sababli uni “baho” deb ham atashadi), shu sababli ham u noma’lum parametrga bog‘liq bo‘lishi mumkin emas.
Albatta, statistika tanlanmaning “ixtiyoriy” funksiyasi emas, balki “o‘lchovli” funksiyasidir (ya’ni dagi ixtiyoriy Borel to‘plamining proobrazi dagi o‘lchovli to‘plam bo‘ladigan funksiya). Ammo biz qaraydigan statistikalar odatda o‘lchovli funksiya bo‘ladi, shu sababli har safar statistika o‘lchovli funksiya ekanligini ta’kidlab o‘tirmaymiz.
Statistik baholar baholanayotgan parametrga “yaхshi” yaqinlashishi uchun ular ayrim shartlarni qanoatlantirishi talab qilinadi.
Faraz qilaylik, nazariy taqsimotning noma’lum parametrining statistik bahosi bo‘lsin.
Iхtiyoriy hajmdagi tanlanma uchun matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo‘lgan statistika siljimagan baho deyiladi ( tenglikning o‘rinli bo‘lishidan ning siljimagan baho ekanligi kelib chiqadi).
Matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo‘lmagan statistika siljigan baho deyiladi ( bo‘lsa, undan bahoning siljigan ekanligi kelib chiqadi).
Demak, taklif etilgan statistikaning siljimaganligini tekshirish uchun uning matematik kutilmasini hisoblash kerak bo‘ladi.
Тanlamaning hajmi orttirilganda matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga yaqinlashidigan statistika asimptotik siljimagan baho deyiladi. ( bo‘lganda statistika noma’lum parametr uchun asimptomik siljimagan baho bo‘ladi).
Katta hajmdagi tanlanmalar bilan ish ko‘rilganda bahoga asoslilik talabi qo‘yiladi. Agar kuzatishlar sonini cheksiz orttirilganda statistika baholanayotgan parametrga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashsa, ya’ni iхtiyoriy uchun ushbu

munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda statistika parametrning asosli bahosi deyiladi.
Siljimaganlik – bu bahoning fiksirlangan dagi xossasi bo‘lib, u bu bahodan sistematik ravishda foydalanishda vujudga keladigan “o‘rtacha” hatoning bo‘lmasligini ta’minlaydi.
Asoslilik xossasi ma’lumotlar miqdori kattalashganda baholar ketma-ketligining noma’lum parametrga yaqinlashishini anglatadi. Ravshanki, agar statistika bu xossaga ega bo‘lmasa, u holda bu statistika baho sifatida umuman “asossiz” bo‘ladi.
Ko‘p hollarda bahoning asosli ekanligini tekshirish uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi.
Teorema. Agar baho parametr uchun siljimagan baho va da bo‘lsa, u holda asosli baho bo‘ladi.
Bu teoremani Chebishev tengsizligi yordamida oson isbotlash mumkin.
Baholanayotgan parametr uchun bir nechta baho taklif etish mumkin. U holda ularning orasidan “eng yaхshisini” tanlash masalasi kelib chiqadi. Тabiiyki, statistik baho dispersiyasining kichik bo‘lishini ta’minlashga harakat qilishimiz kerak. Shu maqsadda effektiv baho tushunchasini kiritamiz. Berilgan hajmli tanlanma to‘plamdagi eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan siljimagan statistika effektiv baho deyiladi.
Effektiv baholar odatda Rao-Kramer tengsiligidan foydalanib topiladi, ya’ni:
, (*)
bu yerda – Fisher informatsiyasi bo‘lib, uni quyidagicha aniqlanadi: diskret hol uchun
,
bu yerda ; uzluksiz hol uchun
,
bu yerda – tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi.
Rao-Kramer tengsizligi (*) dan ko‘rinadiki baho effektiv bo‘lishligi uchun bo‘lishligi yetarli va zaruriy shart.
Agar

bo‘lsa, baho asimptotik effektiv baho deyiladi.
Statistik baholar ikki хil – nuqtaviy va intervalli bo‘ladi.
Bitta miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho nuqtaviy baho deyiladi.
Baholanayotgan parametrni qoplaydigan intervalning chegaralarini bildiruvchi ikki miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho intervalli baho deyiladi.
Endi ba’zi statistik baholar va ularning хossalarini keltiramiz.
tasodifiy miqdorning kuzatilgan qiymatlari, ya’ni tanlanma bo‘lsin. Tanlamaning o‘rta qiymati bosh to‘plam matematik kutilmasining siljimagan va asosli bahosi bo‘ladi. Buni tekshirish qiyin emas, ya’ni , desak,
.
Demak, baho uchun siljimagan baho bo‘ladi. Katta sonlar qonuniga asosan har qanday uchun da

va baho uchun asosli baho boladi..
Хususan, agar normal taqsimlangan bo‘lsa, u holda qiymati uchun effektiv baho bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas.
Тanlanma dispersiya

bosh to‘plam dispersiyasining siljigan bahosi bo‘ladi, chunki . Haqiqatan ham, quyidagi tengliklarni

va

ekanligini e’tiborga olsak,

bo‘ladi.
Shu sababli, bosh to‘plam dispersiyasi uchun quyidagi “tuzatilgan” dispersiya

siljimagan baho bo‘ladi, chunki .
Тanlanma dispersiyasining da uchun asosli baho ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Тanlanma dispersiyasini hisoblaganda quyidagi formuladan foydalanish qulay:
.
Tanlanma dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga tanlanmaning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi.
Tanlanmaning “tuzatilgan” dispersiyasidan olingan kvadrat ildizga tanlanmaning “tuzatilgan” o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi.
Empirik taqsimot funksiyasi taqsimot funksiya uchun siljimagan va asosli baho bo‘ladi.