Regressiv taxlil

2-savol bayoni

Nuqtaviy baholarni topishning juda ko‘p usullari mavjud. Biz ko‘p tarkalgan usullar: momentlar usuli, haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli va eng kichik kvadratlar usuliga to‘xtalib o‘tamiz.

1. Momentlar usuli. Momentlar usuli yordamida baho toppish uchun taqsimotning nazariy momentlari tanlanma to‘plam yordamida topilgan mos empirik momentlar bilan tenglashtiriladi.
Demak, agar taqsimot bitta parametr ga bog‘liq bo‘lsa, u holda tenglamani nisbatan yechish kerak bo‘ladi. Agar taqsimot ikkita parametr ga bog‘liq bo‘lsa, u holda

tenglamalar sistemasini ga nisbatan yechish kerak bo‘ladi. Va nihoyat, agar taqsimot ta parametr ga bog‘liq bo‘lsa, u holda
yoki
tenglamalar sistemasining bittasini yechish kerak bo‘ladi.
Odatda momentlar usuli yordamida topilgan baho asosli bo‘ladi.
1-misol. Momentlar usuli yordamida normal taqsimlangan tasodifiy miqdor parametrlarining bahosi topilsin.
Berilganga ko‘ra, tanlanma yordamida va parametrlar uchun nuqtaviy baho topish kerak.
Momentlar usuliga ko‘ra
ya’ni
bo‘ladi.
Demak, normal taqsimot parametrlari uchun momentlar usuli yordamida topilgan baholar va .
2. Haqiqatga eng katta o‘xshashlik usuli (HKO‘U). Ayataylik tasodifiy miqdor ustida ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazib, tanlanma olingan bo‘lsin. Ushbu tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining ko‘rinishi ma’lim, lekin parametr noma’lum. Tanlanma yordamida parametrni baholash talab etiladi.
HKO‘U asosida, haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi tushunchasi yotadi.
Tanlanma yordamida qurilgan haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi deb, quyidagi

ko‘rinishdagi argumentning funksiyaga aytiladi.
Agar tasodifiy miqdor diskret tipda bo‘lsa,

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda .
HKO‘U ko‘ra parametrning nuqtaviy bahosi sifatida ning shunday qiymati olinadiki, bu qiymatda haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi maksimumga erishadi.
Bunday yo‘l bilan topilgan baho haqiqatga eng katta o‘xshash baho deb ataladi va u

tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Ushbu va funksiyalar ning bir xil qiymatida maksimumga erishishini e’tiborga olib, qulaylik uchun funksiya o‘rniga funksiya maksimumi topiladi.
Shunday qilib, haqiqatga eng katta o‘xshash bahosini topish uchun:
1. Haqiqatga o‘xshashlik tenglamasi
ni yechish;
2. Yechimlar ichidan ga maksimum qiymat beradiganini ajratib olish. Buning uchun ikkinchi tartibli hosilasidan foydalanishi qulay, ya’ni agar
bo‘lsa,
u holda maksimum nuqtasi bo‘ladi.
Agar taqsimot qonuni ta parametrlarga bog‘liq bo‘lsa, u holda baholar

tenglamalar sistemasi yechimlari orqali aniqlanadi.
2-misol. HKO‘U yordamida Puasson taqsimotining parametri uchun baho topilsin.
Bu holda . Shuning uchun da
.
Haqiqatga o‘xshashlik funksiyasini topamiz
.
U holda

va
.
Haqiqatga o‘xshashlik tenglamasi quyidagi ko‘rinishiga ega:
.
Bu yerdan

ekanligini topamiz.
Endi
ekanligini aniqlaymiz. Demak haqiqatga eng katta o‘xshash baho bo‘ladi.
3. Eng kichik kvadratlar usuli (EKKU). Noma’lum parametr uchun, tanlanma qiymatlarining izlanayotgan bahodan chetlanishi kvadratlarining yig‘indisini minimallashtirish asosida baho topish usuli eng kichik kvadratlar usuli deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda, EKKUda ning ushbu

yig‘indini minimallashtiruvchi qiymatini topish talab etiladi.
3-misol. EKKU yordamida Puasson taqsimotining parametri uchun baho topilsin.
Buning uchun funksiyaning minimum nuqtasini topamiz:
.
Endi tenglamadan kritik nuqtani aniqlamiz:
,
bu yerdan va . Bu nuqta minimum nuqtasi bo‘lishi uchun ekanligini ko‘rsatishimiz kerak, ya’ni
.
Demak, funksiyaning minimum nuqtasi ekan va baho parametr uchun EKKU yordamida topilgan baho bo‘ladi.