Yuqori chegarasi o`zgaruvchidan iborat bo`lgan (5) aniq integralni hisoblashning Nyuton –Leybnis usuli quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(8)
Shuningdek, quyi chegarasi o`zgaruvchidan iborat bo`lgan aniq integral ifodasi esa quyidagicha bo`ladi:
(9)
aniq integralni hisoblashda quyidagi bosqich ishlari ketma – ket bajariladi:
Quyidagi aniqmas integral topiladi:
ning dagi qiymati topiladi, ya`ni
ning dagi qiymati hisoblanadi, ya`ni
ayirama topiladi.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechilishi: Bunda va .
Aniqmas integral ni hisoblaymiz:
ni topamiz:
ni topamiz:
Demak,
2-misol. Hisoblang: .
Yechilishi: Integralni hisoblashni yuqoridagi bosqichlar asosida, ya`ni (7) formulani qo`llash orqali bajaramiz:
3-misol. Integralni hisoblang:
Yechilishi: Aniq integralning 3- xossasiga asosan berilgan integralni ikki qismga ajratamiz va Nyuton –Leybnis formulasidan foydalanib, hisoblaymiz:
Mustaqil yechish uchun mashqlar.
№1. №7.
№2. №8.
№3. №9.
№4. №10.
№5. №11.
№6. №12.
O`rta qiymat haqidagi teorema
Teorema. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda, shu kesmada shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun
(1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: Faraz qilaylik, bo`lsin. U holda, funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta qiymati va eng kichik qiymati bo`lsin, ya`ni
. (2)
da (2) tengsizlikni integrallaymiz:
Bundan, (3)
(3)ni ga hadma – had bo`lamiz:
. (4)
Berilgan funksiya da uzluksiz bo`lganligi uchun qo`yi va yuqori chegara oralig`idagi (ya`ni [ , ]) istalgan qiymatni qabul qiladi. U holda, da shunday nuqta mavjud bo`ladiki, bo`lishini ta`minlaydi. Bu esa (1) formuladan iborat. Teorema isbot bo`ldi.
Do'stlaringiz bilan baham: |