Режа: Бир жинсли тенгламага келтириладиган махсус кўринишдаги тенгламалар

Бир жинсли дифференциал тенгламага келтириладиган тенгламалар.
Режа:

1. 
   Бир жинсли тенгламага келтириладиган махсус кўринишдаги тенгламалар
   
2. 
   Умумлашган бир жинсли тенгламалар
   

Таянч сўз ва иборалар: бир жинсли тенглама, умумлашган бир жинсли тенглама.
Ушбу
(1)
кўринишдаги тенгламани ечишда сонли ифоданинг қиймати муҳим аҳамиятга эга. Бу ерда учта ҳол бўлиши мумкин.
1-ҳол. тўғри чизиқлар кесишмаса, у ҳолда , яҳни бўлади. Бунда (1) тенглама тенглик ўринли бўлиб,

кўринишда ёзиб олинади ва алмаштириш ёрдамида ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага келтирилади.
2-ҳол. Агар юқоридаги чизиқлар кесишса, координата бошини кесишиш нуқтасига кўчирилади , яъни . Бу ҳолда тенглама

кўринишдаги бир жинсли тенгламага келтирилади.
3-ҳол. , яъни . Бу ҳолда алмаштириш билан тенглама 2-ҳолда ўрганилган

тенгламага келтирилади. Бунинг учун ва сифатида

тенгламалар системасининг ечимини олиш лозим.
Агар сонини танлаш ҳисобига тенгламани алмаштириш ёрдамида бир жинсли тенгламага келтириш мумкин бўлса, бундай тенглама умумлашган бир жинсли дифференциал тенглама¹ дейилади.
1-мисол. Тенгламани ечинг: .
Ечиш. Берилган тенгламада (1-ҳол), шунинг учун десак, берилган тенглама кўринишга келади. Охирги тенгламанинг умумий интеграли: . Бундан ташқари умумий ечимдан келиб чиқмайдиган функция ҳам ечим бўлади.
2-мисол. тенгламанинг умумий интегралини топинг.
Ечиш. бўлганлиги учун (2-ҳол) бу тенглама бир жинсли бўлади. Маълумки алмаштиришдан сўнг тенглама кўринишни олади ва функция охирги тенгламанинг умумий интеграли бўлади. эканлигини эҳтиборга олсак, дастлабки берилган тенгламанинг умумий интеграли:
.
3-мисол. тенгламани ечинг.
Ечиш. Бу ерда . Аввал

системанинг ечими ёрдамида алмаштиришни бажариб, тенгламага эга бўламиз. Сўнгра шу бир жинсли тенгламани ечиб, унинг умумий интегралидан ва ўзгарувчиларга қайтиб, дастлаб берилган тенгламанинг умумий интегралини ёзамиз:

4-мисол. Тенгламани ечинг:
(2)
Ечиш. Берилган тенглама бир жинсли эмас, шунинг учун алмаштириш бажарамиз:
.
(2) тенглама ечимга эга бўлиши учун тенглик ечимга эга бўлиши керак. Кўриниб турибдики, . Энди (2) тенгламада алмаштириш ёрдамида

кўринишдаги бир жинсли тенгламани ҳосил қиламиз (1-мисолга қаранг).
Жавоб: .

1 Степанов Б.Б. Курс дифференциальных уравнений. М., КомКнига/ УРСС. 2006. — 472 с.