Reja: Boshlang’ich funksiya tushunchasi. Funksiyaning aniqmas integrali

3. Integrallashning sodda qoidalari. ([1], Theorem 9.8 (Linearity of the integral), 304-bet ) 1) Agar f (x) funksiya boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsa, u holda kf (x) (k o’zgarmas son) funksiya ham boshlang’ich funksiyaga ega va k ≠ 0 da

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx (1.2)

formula o’rinli bo’ladi.

f (x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi F(x) bo’lsin. U holda

F′(x) = f (x) va ∫ f (x)dx = F(x) + C bo’lib,

k∫ f (x)dx = k(F(x) + C)= kF(x) + kC (1.3) bo’ladi, bunda С —ixtiyoriy o’zgarmas son. Ushbu

(kF(x))^′ = kF′(x) = kf (x)

tenglik o’rinli bo’lishidan kf (x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi kF(x) ekanini topamiz. Demak,

∫kf (x)dx = kF(x) + C₁ (1.4)

bunda С1 ixtiyoriy o’zgarmas son. Endi (1.3) va (1.4) munosabatlardan С va С1 o’zgarmas sonlarning ixtiyoriligi hamda k ≠ 0 bo’lishidan (1.2) formulaning o’rinli ekani kelib chiqadi.

Shunga o’xshash integralning quyidagi xossasi isbotlanadi: