Reja: Boshlang’ich funksiya tushunchasi. Funksiyaning aniqmas integrali

Mavzu. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari

Reja:
1. Boshlang’ich funksiya tushunchasi. Funksiyaning aniqmas integrali.

2. Integralning xossalari.

3. Asosiy aniqmas integrallar jadvali.

1. Boshlang’ich funksiya tushunchasi. Funksiyaning aniqmas integrali. Faraz qilaylik, f (x) funksiya (a,b) intervalda ( bu interval chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin ) aniqlangan bo’lib, F(x) funksiya esa shu intervalda differensiallanuvchi bo’lsin.

1-ta’rif. ([1], Definition 9.1, 300-bet ) Agar ∀x ∈(a,b) da

F′(x) = f(x) yoki dF(x) = f(x)dx

bo’lsa, F(x) funksiya (a,b) da f (x) ning boshlang’ich funksiyasi deyiladi.

Masalan.

1). f (x) = x ² funksiyaning R = (−∞,+∞) dagi boshlang’ich funksiyasi

F(x) = x ³ bo’ladi, chunki

2). f (x) = − ^x funksiyaning (−1,1) intervaldagi boshlang’ich funksiyasi 1− x ²

F(x) = 1− x ² bo’ladi, chunki

Aytaylik, f (x) funksiya [a,b] da aniqlangan bo’lib, F(x) funksiya shu segmendga differensiallanuvchi bo’lsin.

2-ta’rif. Agar

F′(x) = f (x) (x∈(a,b))

bo’lib,

F′(a + 0) = f (a). F′(b − 0) = f (b).

bo’lsa, F(x) funksiya [a,b] da f (x) ning boshlang’ich funksiyasi deyiladi.

8.1—misol. Ushbu

funksiya (−1,1) intervalda boshlang’ch funksiyaga ega emasligi ko’rsatilsin.

◄ Teskarisini faraz qilaylik. Biror F(x) funksiya (−1,1) da f (x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsin: (−1,1) da

F′(x) = f (x).

Lagranj teoremasiga ko’ra [0,x] da (0 < x <1)

F(x) − F(0) = F′(c)x = f (c)x = x (0 < c < x) bo’ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:

Bu esa F′(+0) = F′(0) = f (0) = 0 bo’lishiga zid.

1-eslatma. Keyinchalik, F(x) funksiya boshlang’ich funksiyasi bo’ladigan oraliqni ko’rsatib o’tirmaymiz. Oraliq sifatida f (x) ning aniqlanish oralig’i X ko’zda tutiladi va X sifatida

lar olinishi mumkin.

1-teorema. Agar f (x) funksiya X oraliqda uzluksiz bo’lsa, f (x) shu oraliqda har doim boshlang’ich funksiyaga ega bo’ladi. Bu teoremaning isboti keyingi mavzularda keltiriladi.

([1], Proposition 9.3, 300-bet) F(x) va Ф(x) funksiyalarning har biri f (x) funksiya uchun boshlan-g’ich funksiya bo’lsin:

F′(x) = f (x), Ф′(x) = f (x) .

Demak, F′(x) = Ф′(x) . Bundan

F(x) = Ф(x) + C (C = const)

tenglik kelib chiqadi.

Demak, f (x) funksiyaning barcha boshlang’ich funksiyalari bir—biridan o’zgarmas songa farq qiladi va istalgan boshlang’ich funksiyasi ushbu ko’rinishda ifodalanadi: F(x) + C (C = const) .

3-ta’rif. f (x) funksiya boshlang’ich funksiyalarining umumiy ifodasi F(x) + C (C = const) shu f (x) funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va

∫ f (x)dx

kabi belgilanadi. Bunda ∫ —integral belgisi, f (x) integral ostidagi funksiya, f (x)dx esa integral ostidagi ifoda deyiladi.

Demak,

∫ f (x)dx = F(x) + C.

Masalan,

bo’ladi, chunki hosila olish qoidalariga ko’ra