Reja: Ehtimollik nazariyasi haqida umumiy tushuncha
Download 27.93 Kb.
|
Ehtimollik
|
Mavzu: Ehtimollik nazariyasining klassik tarifi Reja:
2.Ehtimollik nazariyasining klassik tarifi. 3.Ehtimollikning klassik tarifining xususiyatlari Ehtimollar nazariyasidagi hodisa - bu qandaydir tajriba (sinov) natijEhtimollar nazariyasidagi hodisa - bu qandaydir tajriba (sinov) natijasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan har qanday faktdir. Masalan: Otuvchi nishonga otadi. Otish - bu sinov, nishonga tegish - voqea. Voqealar odatda etiketlanadi.Bitta tasodifiy hodisa juda ko'p tasodifiy sabablarning natijasi bo'lib, ularni ko'pincha hisobga olish mumkin emas. Ammo, agar biz massiv bir hil hodisalarni hisobga olsak (bir xil sharoitlarda tajriba o'tkazishda takroran kuzatilgan), ular ma'lum bir naqshlarga bo'ysunadi: agar siz bir xil sharoitda tangani ko'p marta tashlasangiz, siz gerbning sodir bo'lish soni rulon sonining yarmiga teng bo'lishini kichik xato bilan taxmin qilish mumkin. Ehtimollar nazariyasining predmeti massiv bir hil tasodifiy hodisalarning ehtimollik qonuniyatlarini o'rganishdir. Ehtimollar nazariyasi usullari ishonchlilik, tortishish, avtomatik boshqarish va boshqalar nazariyalarida keng qo'llaniladi. Ehtimollar nazariyasi matematik va amaliy statistika uchun asos bo'lib xizmat qiladi, bu esa o'z navbatida ishlab chiqarishni rejalashtirish va tashkil etishda, texnologik jarayonlarni tahlil qilishda va hokazolarda qo'llaniladi. Ta'riflar. 1. Agar biror voqeani boshdan kechirish natijasida a) har doim sodir bo'ladi, keyin bu ma'lum bir voqea, b) hech qachon kelmaydi, keyin - imkonsiz hodisa, v) sodir bo'lishi mumkin, keyin sodir bo'lmasligi mumkin, keyin tasodifiy (mumkin) hodisa. 2. Agar ushbu hodisalarning hech biri boshqalarga qaraganda tajriba natijasida paydo bo'lish ehtimoli ko'proq emas, deb hisoblash uchun asos bo'lsa, hodisalar teng darajada ehtimoliy deb ataladi. 3. Hodisalar va - qo'shma (mos kelmaydigan), agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining yuzaga kelishini istisno qilmasa (istisno etmasa). 4. Agar ushbu guruhdan kamida ikkita hodisa qo'shma bo'lsa, hodisalar guruhi qo'shma hisoblanadi, aks holda u mos kelmaydi. 5. Tajriba natijasida ulardan biri albatta sodir bo'ladigan bo'lsa, hodisalar guruhi to'liq deyiladi. 1-misol Nishonga uchta o'q uziladi: Let - birinchi o'qda urish (o'tkazib yuborish) - ikkinchi o'qda, - uchinchi o'qda. Keyin a) - teng ehtimolli hodisalarning qo'shma guruhi. b) mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhidir. qarama-qarshi hodisadir. v) - hodisalarning to'liq guruhi. Klassik ehtimollik Ehtimollikni aniqlashning klassik usuli bir xil darajada mumkin bo'lgan mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhiga nisbatan qo'llaniladi.Biz ushbu guruhning har bir hodisasini holat yoki elementar natija deb ataymiz. Har bir hodisaga nisbatan holatlar qulay va noqulay bo'linadi. Ta'rif 2. Hodisa ehtimoli qiymat deb ataladi qayerda voqea sodir bo'lishi uchun qulay holatlar soni , bu tajribada teng darajada mumkin bo'lgan holatlarning umumiy soni. 2-misol Ikkita zar tashlanadi. Hodisa - tushirilgan ballar yig'indisi ga teng bo'lsin. Toping. a) noto'g'ri qaror. Hammasi bo'lib 2 ta holat mumkin: va - mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhi. Bitta holat qulay, ya'ni. Bu xato, chunki ikkalasi ham bir xil darajada mumkin emas. b) Jami teng mumkin bo'lgan holatlar. Qulay holatlar: prolaps Klassik ta'rifning kamchiliklari quyidagilardan iborat: 1. - holatlar soni cheklangan. 2. Tajriba natijasini ko'pincha elementar hodisalar (holatlar) to'plami sifatida tasvirlab bo'lmaydi. 3. Ishlarni bir xil ehtimolli deb ko'rish uchun asoslarni ko'rsatish qiyin. Ta'rif 3. Hodisaning nisbiy chastotasi qiymat Ehtimollik quyidagi xususiyatlarga ega: Hodisalar algebrasi 1 Ta'riflar. 8. Bir nechta hodisalarning yig'indisi yoki birlashmasi ularning kamida bittasidan tashkil topgan hodisadir. 9. Bir nechta hodisalarning mahsuli bu barcha hodisalarning birgalikda paydo bo'lishidan iborat hodisadir. 1-misoldan. - uchta zarba bilan kamida bitta zarba, - birinchi va ikkinchi zarbalar bilan zarba va uchinchi zarba bilan o'tkazib yuborilgan. 10. Ikki hodisa mustaqil (bog'liq) deb ataladi, agar ulardan birining ehtimoli ikkinchisining yuzaga kelishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq bo'lmasa (bog'liq). 11. Agar ularning har biri va qolgan hodisalarning har qanday chiziqli birikmasi mustaqil hodisalar bo'lsa, bir nechta hodisalar yig'indisida mustaqil deyiladi. 12. Shartli ehtimollik hodisa sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan hodisaning ehtimolligi deyiladi. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Bir nechta hodisalarning birgalikda sodir bo'lish (ishlab chiqarish) ehtimoli oldingi barcha hodisalar sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan qolgan hodisalarning shartli ehtimolliklariga ulardan birining ehtimoli ko'paytmasiga teng. 3-misol Bir urnada 5 ta oq, 4 ta qora va 3 ta koʻk shar mavjud. Har bir sinov bitta to'pning urnadan tasodifiy ravishda olinishidan iborat. Birinchi sinovda oq to'p, ikkinchisida qora, uchinchisida ko'k to'p paydo bo'lish ehtimoli qanday? a) har safar to'p urnaga qaytarilganda to'plarning birinchi sinovidan keyin urnada, ulardan 4 tasi oq rangda. . Bu yerdan b) to'p urnaga qaytarilmaydi. Keyin - jami mustaqil va Ehtimollarni qo'shish teoremasi. Voqealarning kamida bittasining sodir bo'lish ehtimoli teng Natija 2. Agar hodisalar juftlik bilan mos kelmasa, u holda Haqiqatan ham bu holatda 4-misol Bitta nishonga uchta o'q uziladi. Birinchi o'q bilan urish ehtimoli ikkinchisi bilan, uchinchisi bilan -. Kamida bitta urish ehtimolini toping. Yechim. Mayli - birinchi zarbada, - ikkinchida, - uchinchida, - uchta zarbada kamida bitta zarba. Keyin , jami qo'shma mustaqillar qayerda. Natija 3. Agar juftlik mos kelmaydigan hodisalar to'liq guruhni tashkil qilsa, u holda Natija 4. Qarama-qarshi hodisalar uchun Ba'zan muammolarni hal qilishda qarama-qarshi hodisaning ehtimolini topish osonroq bo'ladi. Misol uchun, 4-misolda - uchta zarba bilan miss. Ular jami mustaqil bo'lgani uchun va keyin Kendallning darajali korrelyatsiya ko'rsatkichi, munosabatlarning ahamiyati haqidagi tegishli gipotezani sinab ko'rish. 2.Ehtimollikning klassik ta'rifining xususiyatlari. Bir misolni ko'rib chiqamiz. Bir urnada 6 ta bir xil, yaxshilab aralashtirilgan shar bo'lsin, ulardan 2 tasi qizil, 3 tasi ko'k va 1 tasi oq. Shubhasiz, urnadan tasodifiy rangli (ya'ni, qizil yoki ko'k) to'pni chizish imkoniyati oq to'pni chizish imkoniyatidan kattaroqdir. Bu imkoniyatni raqam bilan tavsiflash mumkinmi? Ma'lum bo'lishicha, siz qila olasiz. Bu raqam hodisa ehtimoli (rangli to'pning paydo bo'lishi) deb ataladi. Shunday qilib, ehtimollik hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasini tavsiflovchi sondir.Keling, o'z oldimizga tasodifiy olingan to'pning rangli bo'lish ehtimolini miqdoriy baho berish vazifasini qo'yaylik. Rangli to'pning paydo bo'lishi A hodisasi sifatida ko'rib chiqiladi. Sinovning mumkin bo'lgan natijalarining har biri (sinov urnadan to'pni olishdan iborat) deb ataladi. elementar natija (elementar hodisa). Elementar natijalarni w 1, w 2, w 3 va boshqalar bilan belgilang. Bizning misolimizda quyidagi 6 ta elementar natija mumkin: w 1 - oq shar paydo bo'ldi; w 2, w 3 - qizil to'p paydo bo'ldi; w 4, w 5, w 6 - ko'k shar paydo bo'ldi. Ko'rinib turibdiki, bu natijalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi (faqat bitta to'p paydo bo'ladi) va ular teng darajada mumkin (to'p tasodifiy olinadi, to'plar bir xil va yaxshilab aralashtiriladi). Bizni qiziqtirgan voqea sodir bo'lgan elementar natijalarni biz chaqiramiz qulay bu voqea. Bizning misolimizda quyidagi 5 ta natija A hodisasini (rangli to'pning ko'rinishini) ma'qullaydi: w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 . Shunday qilib, A hodisasi, qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, sud jarayonida A ni yoqlaydigan elementar natijalardan biri sodir bo'lsa, kuzatiladi; misolimizda w 2 yoki w 3 yoki w 4 yoki w 5 yoki w 6 yuzaga kelsa A kuzatiladi. Shu ma’noda A hodisasi bir necha elementar hodisalarga bo‘linadi (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); elementar hodisa boshqa hodisalarga bo'linmaydi. Bu A hodisasi va elementar hodisa (elementar natija) o'rtasidagi farqdir. A hodisasi uchun qulay bo'lgan elementar natijalar sonining ularning umumiy soniga nisbati A hodisaning ehtimolligi deyiladi va P (A) bilan belgilanadi. Ko'rib chiqilayotgan misolda 6 ta elementar natija mavjud; Ulardan 5 tasi A hodisasiga ijobiy ta'sir qiladi. Shuning uchun chizilgan to'pning rangli bo'lish ehtimoli P (A) \u003d 5/6 ga teng. Bu raqam rangli to'pning paydo bo'lish ehtimoli darajasining miqdoriy bahosini beradi. biz topmoqchi bo'lgan narsa. Endi biz ehtimollik ta'rifini beramiz. A hodisasining ehtimoli- bu hodisa uchun qulay bo'lgan natijalar sonining to'liq guruhni tashkil etuvchi barcha teng darajada mumkin bo'lgan mos kelmaydigan elementar natijalarning umumiy soniga nisbati. Demak, A hodisaning ehtimoli formula bilan aniqlanadi bu yerda m - A foydasiga elementar natijalar soni; n - barcha mumkin bo'lgan elementar test natijalari soni.Bu erda elementar natijalar mos kelmaydigan, bir xil darajada mumkin va to'liq guruhni tashkil qiladi deb taxmin qilinadi. Quyidagi xususiyatlar ehtimollik ta'rifidan kelib chiqadi: Taxminan y bilan taxminan 1da t. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng. Haqiqatan ham, agar voqea ishonchli bo'lsa, testning har bir elementar natijasi voqeani afzal ko'radi. Bu holda, m = n, shuning uchun, P(A)=m/n=n/n=1. Taxminan y bilan t taxminan 2 da. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.Haqiqatan ham, agar voqea imkonsiz bo'lsa, sud jarayonining elementar natijalaridan hech biri voqeani qo'llab-quvvatlamaydi. Bu holda, m = 0, shuning uchun, P (A) \u003d m / n \u003d 0 / n \u003d 0. Taxminan y bilan t taxminan 3 da. Tasodifiy hodisaning ehtimoli noldan birgacha bo'lgan ijobiy sondir.Darhaqiqat, testning elementar natijalarining umumiy sonining faqat bir qismi tasodifiy hodisaga yordam beradi. Bu holda 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1 Demak, har qanday hodisaning ehtimoli ikki karra tengsizlikni qanoatlantiradi Eslatma: Ehtimollar nazariyasi bo'yicha zamonaviy qat'iy kurslar to'plam-nazariy asosda qurilgan. Biz yuqorida ko'rib chiqilgan tushunchalarni to'plamlar nazariyasi tilida taqdim etish bilan cheklanamiz. Sinov natijasida w i , (i = 1, 2, ..., n) hodisalaridan bittasi va faqat bittasi sodir bo'lsin. Voqealar w i deb ataladi elementar hodisalar (elementar natijalar). Bundan kelib chiqadiki, elementar hodisalar juftlik mos kelmaydi. Sinovda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan barcha elementar hodisalar to'plami deyiladi elementar hodisa maydoni W va elementar hodisalarning o'zi - fazo nuqtalari V. A hodisasi elementlari A foydasiga elementar natijalar bo'lgan kichik to'plam (W fazosi) bilan aniqlanadi; B hodisasi W ning kichik to'plami bo'lib, uning elementlari B uchun qulay natijalar va hokazo. Shunday qilib, sinovda sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar to'plami barcha kichik to'plamlar to'plami Wdir. W ning o'zi sud jarayonining har qanday natijasi bilan sodir bo'ladi, shuning uchun W ma'lum bir hodisadir; W fazosining bo'sh kichik to'plami imkonsiz hodisadir (u sinovning hech qanday natijasi uchun sodir bo'lmaydi).E'tibor bering, elementar hodisalar barcha hodisalardan ularning har birida faqat bitta W elementi borligi bilan ajralib turadi.Har bir elementar natija w i ga ijobiy raqam beriladi p i - bu natijaning ehtimoli, va Ta'rifga ko'ra, A hodisasining ehtimolligi P(A) elementar natijalarning A ga foyda keltiradigan ehtimolliklari yig'indisiga teng. Bundan osonlik bilan ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng, imkonsiz ekanligini aniqlash mumkin. nol va ixtiyoriy nol va bir orasida.Barcha natijalar bir xil bo'lishi mumkin bo'lgan muhim maxsus holatni ko'rib chiqing. Natijalar soni n, barcha natijalar ehtimoli yig'indisi bittaga teng; shuning uchun har bir natijaning ehtimoli 1/n. A hodisasi m natijaga ko'ra ma'qul bo'lsin. A hodisasining ehtimoli A ga mos keladigan natijalar ehtimoli yig'indisiga teng: P (A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n. A'zolar soni m ga teng ekanligini hisobga olsak, biz bor P (A) \u003d m / n. Ehtimollikning klassik ta'rifi olinadi. Mantiqiy jihatdan tugallangan ehtimollar nazariyasini qurish tasodifiy hodisa va uning ehtimolini aksiomatik ta’rifiga asoslanadi. A. N. Kolmogorov taklif qilgan aksiomalar sistemasida elementar hodisa va ehtimol aniqlanmaydigan tushunchalardir. Bu erda ehtimollikni aniqlaydigan aksiomalar: 1. Har bir A hodisasiga manfiy bo'lmagan haqiqiy P(A) son beriladi. Bu raqam A hodisaning ehtimolligi deyiladi. 2. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng: 3. Juftlik mos kelmaydigan hodisalardan kamida bittasining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Bu aksiomalar asosida teorema sifatida ehtimollarning xossalari va ular orasidagi boģlanishlar chiqariladi. Klassik ta ’rifdan foydalanib, ehtimollik hisoblashda kombinatorika elementlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kombinatorikaning ba’zi elementlari keltiramiz. Kombinatirikada qo‘shish va ko‘paytirish qoidasi deb ataluvchi ikki muhim qoida mavjud. a = {a, a ,.., an} va в = {Ъ, Ъ2,..., Ъи} chekli to ‘plamlar berilgan bo‘lsin.S Q o ‘shish qoidasi: agar A to ‘plam elementlari soni n va B to ‘plam elementlari soni m bo‘lib, A • в = 0 ( A va в to ‘plamlar kesishmaydigan) bo‘lsa, u holda A +в to ‘plam elementlari soni n+m bo‘ladi. S K o ‘paytirish qoidasi: A va B to ‘plamlardan tuzilgan barcha ( a , Ъ}) juftliklar to ‘plami C = { (a,b ) : * = 1,n j = 1,m} ning elementlari soni n m bo‘ladi. n ta elementdan m (0 < m < n )tadan tanlashda ikkita sxema mavjud: qaytarilmaydigan va qaytariladigan tanlashlar. Birinchi sxemada olingan elementlar qayta olinmaydi(orqaga qaytarilmaydi), ikkinchi sxemada esa har bir olingan element har qadamda o ‘rniga qaytariladi. I. Q aytarilm aydigan tanlash lar sxemasi S Guruhlashlar soni: n ta elementdan m (0 < m < n )tadan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi: c : = — n— (1.6.2) m!(n - m)! c : sonlar Nyuton binomi formulasining koeffisientlaridir: (p + q)n = p n + C1 p n-1q + С 2p n-2q 2 +... + q n . S O ‘rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m (0 < m < n ) tadan o‘rinlashtirishlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi: a : =• (1.6 3 ) S O ‘rin almashtirishlar soni: n ta elementdan n tadan o ‘rinlashtirish o ‘rin almashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi: Pn = n!. ( Klassik ta'rif tajribani talab qilmaydi. Haqiqiy amaliy muammolar cheksiz ko'p natijalarga ega va bu holda klassik ta'rif javob bera olmaydi. Shuning uchun bunday muammolarda biz foydalanamiz ehtimollarni statik aniqlash, bu tajriba yoki tajribadan keyin hisoblanadi.statik ehtimollik w(A) yoki nisbiy chastota - ma'lum bir hodisa uchun qulay natijalar sonining haqiqatda o'tkazilgan sinovlarning umumiy soniga nisbati. w(A)=nm
lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты) 4.Geometrik ehtimollar. geometrik yondashuv ta'rifga ehtimolliklar ixtiyoriy to'plam elementar hodisalar fazosi sifatida qaraladi chiziq, tekislik yoki fazoda cheklangan Lebeg o'lchovi. Voqealar chaqiriladi o'lchanadigan barcha turdagi to'plamning kichik to'plamlari. A hodisasining ehtimoli formula bilan aniqlanadi qayerda bildiradi A to'plamining Lebeg o'lchovi. Hodisalar va ehtimolliklarning bu ta'rifi bilan barcha A.N.Kolmogorov aksiomalari bajarilgan. Yuqoridagilarga qisqartirilgan aniq vazifalarda ehtimollik sxemasi, test ba'zi bir sohada bir nuqta tasodifiy tanlash sifatida talqin etiladi, va hodisa A– ba'zilarida tanlangan nuqtaning zarbasi sifatida mintaqaning A kichik hududi. Buning uchun mintaqadagi barcha nuqtalar bo'lishi kerak tanlash uchun bir xil imkoniyat. Bu talab odatda atamalarda ifodalanadi "tasodifiy", "tasodifiy" va boshqalar.Tasodifiy tajribani ko'rib chiqaylik, unda bir hil bo'lmagan materialdan yasalgan zar tashlangan. Uning og'irlik markazi geometrik markazda emas. Bunday holda, biz natijalarni (bir, ikkita va hokazo) bir xil darajada ehtimoliy deb hisoblay olmaymiz. Fizikadan ma'lumki, suyak og'irlik markaziga yaqinroq bo'lgan yuzga tez-tez tushadi. Masalan, uchta ball olish ehtimolini qanday aniqlash mumkin? Siz qilishingiz mumkin bo'lgan yagona narsa bu qolipni n marta aylantiring (bu erda n etarlicha katta raqam, aytaylik, n = 1000 yoki n = 5000), uchta n 3 rulon sonini hisoblang va uchta dumalash natijasining ehtimolini hisoblang. n 3 / n sifatida - uch nuqtaning nisbiy chastotasi. Xuddi shunday, siz boshqa elementar natijalarning ehtimolini aniqlashingiz mumkin - birlik, ikkilik, to'rtlik va boshqalar. Nazariy jihatdan bu harakat yo‘nalishini ehtimollikning statistik ta’rifini kiritish orqali oqlash mumkin. P (w i) ehtimolligi tasodifiy tajribalar sonining cheksiz ko'payishi jarayonida w i natijasining yuzaga kelishining nisbiy chastotasining chegarasi sifatida aniqlanadi n, ya'ni. Bu yerda m n (wi) - elementar natijaning paydo bo'lishi w i qayd etilgan tasodifiy tajribalar soni (o'tkazilgan tasodifiy tajribalarning umumiy sonidan n). Bu erda hech qanday dalil berilmaganligi sababli, biz umidni hayot tajribasi va sezgi bilan oqlab, oxirgi formuladagi chegara mavjudligiga umid qilishimiz mumkin.Amalda, ko'pincha, statistik ta'rifdan tashqari, hodisaning ehtimolini aniqlashning boshqa usulini topish mumkin bo'lmagan yoki juda qiyin bo'lgan muammolar paydo bo'ladi. Uzluksiz ehtimollik maydoni. Yuqorida aytib o'tilganidek, elementar natijalar to'plami sanab bo'lmaydigan (ya'ni hisoblab bo'lmaydigan) ko'proq bo'lishi mumkin. Shunday qilib, son-sanoqsiz natijalar to'plami tasodifiy segmentga nuqta tashlashdan iborat tajribaga ega. Tasavvur qilish mumkinki, ma'lum bir nuqtada ma'lum bir daqiqada haroratni o'lchashdan iborat bo'lgan tajriba ham son-sanoqsiz natijalarga ega (haqiqatan ham, harorat ma'lum bir oraliqdan istalgan qiymatni olishi mumkin, lekin aslida biz uni faqat o'lchov bilan o'lchashimiz mumkin. ma'lum bir aniqlik va bunday tajribani amalda qo'llash cheklangan miqdordagi natijalarni beradi). Elementar natijalarning sonsiz W to'plami bilan tajriba o'tkazilganda, W to'plamining har qanday kichik to'plamini hodisa deb hisoblash mumkin emas. Shuni ta'kidlash kerakki, hodisa bo'lmagan W kichik to'plamlari matematik abstraktsiyalar bo'lib, amaliy masalalarda uchramaydi. Shuning uchun bizning kursimizda ushbu bo'lim ixtiyoriydir.Tasodifiy hodisaning ta'rifini kiritish uchun W elementar natijalar fazosining kichik to'plamlari tizimini (cheklangan yoki hisoblanuvchi) ko'rib chiqing. Agar ikkita shart bajarilsa: 1) A ning ushbu tizimga a'zoligi ushbu tizimga a'zolikni anglatadi; 2) bu tizimga a'zolik va bu tizimga A i A j a'zoligini bildiradi bunday kichik to'plamlar tizimi algebra deyiladi.W elementar natijalar fazosi bo'lsin. Ikki quyi tizim quyidagilarga ega ekanligiga ishonch hosil qiling: 1) Vt, Æ; 2) W, A, , Æ (bu yerda A W ning kichik to‘plami) algebralardir. A 1 va A 2 qandaydir algebraga tegishli bo'lsin. A 1 \ A 2 va bu algebraga tegishli ekanligini isbotlang. 1) va 2) ¢ shartni qanoatlantiradigan W to'plamning kichik to'plamlarining I sistemasini s-algebra deb ataymiz: 2)¢ agar A 1 , A 2 ,0, A n , 0 kichik toʻplamlar I ga tegishli boʻlsa, ularning sanoqli birlashmasi (yigʻindiga oʻxshashlik boʻyicha bu sanoqli birlashma qisqacha formula bilan yoziladi) ham I ga tegishlidir. Elementar natijalar to'plamining A kichik to'plami W, agar u qandaydir s-algebraga tegishli bo'lsa, hodisadir. Isbotlash mumkinki, agar biror s-algebraga mansub hodisalarning istalgan sanaladigan sistemasini tanlab, shu hodisalar bilan toʻplam nazariyasida qabul qilingan har qanday amallarni (birlashma, kesishish, ayirma va toʻldirish) bajarsak, natija toʻplam yoki toʻplam boʻladi. bir xil s- algebraga tegishli hodisa. Keling, A.N deb nomlangan aksiomani tuzamiz. Kolmogorov. Har bir hodisa A hodisaning ehtimoli deb ataladigan birdan oshmaydigan manfiy bo'lmagan P(A) soniga to'g'ri keladi va P(A) funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega: 2) agar A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ hodisalar mos kelmasa, u holda Agar elementar natijalar fazosi W, hodisalar algebrasi va unda aniqlangan P funksiya yuqoridagi aksioma shartlarini qanoatlantirsa, ehtimollar fazosi berilgan deymiz.Ehtimollar fazosining bu ta'rifini elementar natijalar W ning chekli fazosi holatiga ham kengaytirish mumkin. Keyin algebra sifatida W to'plamining barcha kichik to'plamlari tizimini olishimiz mumkin. Bitta maxsus holatda biz tasodifiy eksperiment uchun voqea ehtimolini hisoblash qoidasini beramiz.Tasodifiy eksperimentning elementar natijalarining W to'plami va qandaydir tekis S figurasi (katta sigma) nuqtalari to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatish mumkin bo'lsa, shuningdek, birdan birga mos kelishini o'rnatish mumkin bo'lsa. -A hodisasini qo‘llab-quvvatlovchi elementar natijalar to‘plami va S figuraning bir qismi bo‘lgan yassi s (kichik sigma) nuqtalari to‘plami o‘rtasidagi bitta moslik, keyin Bu erda s - s figurasining maydoni, S - S figurasining maydoni. Bu erda, albatta, S va s figuralarining maydonlari borligi tushuniladi. Xususan, masalan, s shakli to'g'ri chiziq segmenti bo'lishi mumkin, uning maydoni nolga teng.E'tibor bering, bu ta'rifda tekis S figurasi o'rniga biz S intervalni, uning s qismi o'rniga esa butunlay s intervalga tegishli bo'lgan s oraliqni ko'rib chiqishimiz va ehtimollikni nisbat sifatida ifodalashimiz mumkin. mos keladigan intervallarning uzunliklari. Misol. 12 dan 13 soatgacha ochiq bo'lgan ovqat xonasida ikki kishi tushlik qiladi. Ularning har biri tasodifiy vaqtda keladi va 10 daqiqa davomida tushlik qiladi. Ularning uchrashish ehtimoli qanday?Birinchisining oshxonaga kelish vaqti x, ikkinchisining kelish vaqti y bo‘lsin. Koordinata tekisligida tomonlari 1 ga teng bo‘lgan kvadratning barcha juft sonlari (x;y) (yoki natijalar to‘plami) va nuqtalar to‘plami o‘rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o‘rnatish mumkin. kelib chiqishi 6-rasmda ko'rsatilganidek, x o'qi va y o'qi bo'yicha 12 raqamiga to'g'ri keladi. Bu erda, masalan, A nuqtasi natijaga to'g'ri keladi, bu birinchisining 12.30 da kelganligidan iborat va ikkinchisi - soat 13.00 da. Bu holatda, aftidan, uchrashuv bo'lib o'tmagan.Agar birinchisi ikkinchisidan kechikmay kelsa (y ³ x), u holda uchrashuv 0 £ y - x £ 1/6 (10 daqiqa soatning 1/6 qismi) sharti bilan o'tkaziladi.Agar ikkinchisi birinchisidan (x³y) kechiktirmay kelgan bo'lsa, unda uchrashuv 0 £ x – y £ 1/6 sharti bilan o'tkaziladi. Uchrashuv uchun qulay bo'lgan natijalar to'plami va 7-rasmda soyali shaklda ko'rsatilgan mintaqadagi nuqtalar to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatilishi mumkin.Istalgan p ehtimolligi s hududining butun kvadrat maydoniga nisbatiga teng. Kvadratning maydoni birga teng va s hududining maydoni 7-rasmda ko'rsatilgan ikkita uchburchakning bitta va umumiy maydoni o'rtasidagi farq sifatida aniqlanishi mumkin. Klassik ehtimollik formulasidan foydalangan holda shartli ehtimollikni hisoblashda natijalar soni va hodisadan oldin ekanligini hisobga olgan holda hisoblanadi voqea yuz berdi . Hodisalarni imkoniyat darajasiga ko'ra bir-biri bilan miqdoriy jihatdan solishtirish uchun, shubhasiz, har bir hodisa bilan ma'lum bir sonni bog'lash kerak, bu qanchalik katta bo'lsa, hodisa shunchalik mumkin. Biz bu raqamni voqea ehtimoli deb ataymiz. Shunday qilib, hodisa ehtimoli bu hodisaning ob'ektiv imkoniyati darajasining raqamli o'lchovidir. Klassik ehtimollik quyidagi xossalarga ega: 1. P (0) = 0; 2. P(Q) = 1; 3. 0 < P(A) < 1; 4. Agar A • B = 0bo‘lsa, u holda P (A + B) = P (A) + P (B ); 5. VA, B e Q uchun P ( A + B) = P( A) + P( B) - P( A • B) N (0)
2) Klassik ta ’rifga ko‘ra P(Q) = N (Q) = 1.7 ° N (Q) 3) Ihtiyoriy A hodisa uchun 0 c A c Q ekanligidan 0 < P(A) < 1 bo‘ladi. 4) Agar A • в = 0 bo‘lsa, u holda N (A + B) = N (A) + N (B) va P( A + B) = N (A + B) = N (A) + N (B) = N(A) + N B ) = P( A) + P( B)N (Q) N (Q) N (Q) N (Q) 5) A +в va в hodisalarni birgalikda b o ‘lmagan ikki hodisalar yig‘ndisi shaklida yozib olamiz: A + B = A + B • A (1.3 - misol), B = B Q = B • (A + A) = A • B + B • A , u holda 4- xossaga ko‘ra P (A + B) = P(A) + P (B • A) va p(b) = p(a • в) + p (b • A) . Bu ikki tenglikdan P(A +B) = P(A) + P(B) - P(A • B) kelib chiqadi. Download 27.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|