Reja: Eyler almashtirishlari

Yechish.





=
demak Simpson formulasidagi xatolik juda kam bo`lar ekan.
Eslatma. integralni (1) yoki (2) to`g`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblaganda quyidagi xatolik formula bilan hisoblanadi. Bu yerda M₁ ning kesmadagi eng katta qiymati.
integralni (3) trapesiyalar va (4) Simpson formulalari bilan taqribiy hisoblagandagi qo`yiladigan xatoliklar mos ravishda quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:



M₂ ning kesmadagi eng katta qiymati, M₃ esa ning kesmadagi eng katta qiymati.

Xosmas integrallar

1. Chegarasi cheksiz bo`lgan integral

Biz aniq integralda chegaralari chekli bo`lib, integral ostidagi funksiya uzluksiz va chegaralangan bo`lsin degan edik. Endi bu shartlarning bajarilmagan hollarini ko`raylik.

f(x) funksiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va uning ixtiyoriy chekli qismida integrallanuvchi bo`lsin. Ixtiyoriy B> sonni olamiz. Shartga ko`ra f(x) funksiya da integrallanuvchi. Demak integral V ning funksiyasi bo`ladi F(B)= .

Y 0 x=a x=B x

Ta`rif. Agar da chekli limit mavjud bo`lsa, bu limitga f(x) funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
Demak ta`rifga ko`ra = bo`ladi. Bu holda xosmas integralni mavjud yoki yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar - chekli limit mavjud bo`lmasa, u holda xosmas integralni mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.

Agar f(x)>0 desak xosmas integralning geometrik ma`nosi chiziqlar orasidagi cheksiz soha yuzini ifodalashi chizmadan ko`rinadi. Хuddi shuningdek integralni ko`rsak =

Y x x=a 0 x=b

Agar xosmas integral ko`rinishda bo`lsa, u holda quyidagi ikkita xosmas integrallar yig`indisi sifatida qaraladi
= +


Agar o`ng tomondagi xosmas integrallarning har biri mavjud bo`lsa, u holda chap tomondagi integral mavjud bo`ladi.
Misol.

Demak xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.

2. Chegaralanmagan (uzlukli) funksiyadan olingan

xosmas integral


f(x) funksiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, uning har qanday qismida integrallanuvchi bo`lsin f(x) funksiya x=b nuqtada aniqlanmagan yoki uzulishga ega. Bu holda
=F(c) integralni ko`rish mumkin.

Ta`rif. Agar chekli limit mavjud bo`lsa, bu limitga f(x) funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va = ko`rinishda yoziladi.

y у=f(x) (x) 0 x=a x=c x= x

O`ng tomondagi limit mavjud bo`lsa, xosmas integralga yaqinlashuvchi (yoki mavjud ) deyiladi. Agar o`ng tomondagi limit mavjud bo`lmasa yoki uzoqlashuvchi bo`lsa xosmas integralga uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar f(x) funksiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va uning ixtiyoriy qismida integrallanuvchi bo`lsa
=
tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar x=d ( nuqta f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi bo`lsa


= +
bo`lib, chap tomondagi xosmas integrallar mavjud bo`lsa o`ng tomondagi integral mavjud bo`ladi.
1-teorema. Agar f(x) va funksiyalar da uzluksiz bo`lib, tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda xocmas integral yaqinlashuvchi bo`lsa xosmas integral integral ham yaqinlashuvchi, agar uzoqlashuvchi bo`lsa integral ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
2-teorema. Agar funksiyalar da uzluksiz bo`lib, tengsizlikni qanoatlantirib va x=b nuqtada uzlukli bo`lsalar, u holda integral yaqinlashuvchi bo`lsa, integral ham yaqinlashuvchi bo`ladi, agar uzoqlashuvchi bo`lsa, integral ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
Misol. ( o`zgarmas son).
f(x)= funksiya x=0 nuqtada uzulishga ega
=


Ba`zi bir irratsional ifodalarni integrallash
1. , - ratsional funktsiya. Bunda quyidagich almashtirish qilamiz:
,
bu yerda -natural sonlarning eng kichik bo`linuvchisi.
1-misol.
Yechish. Bunda n=2, m=3 uchun va ,
=
=
= =
=
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish
> restart;
> with(student):
> IR12:=changevar(x=t^6,int(sqrt(x)/(x-x^(2/3)),x),t);

> IR12:=changevar(t=x^(1/6), (IR12, t),x);

2) Bevosita integrallash.
> restart;
> IR12:=Int(sqrt(x)/(x-x^(2/3)),x)=
int(sqrt(x)/(x-x^(2/3)),x);

2. integralda R(x,u₁,u₂)-o`z argumentlarining ratsional funksiyasi a,b,k,l,m<sub>1</sub>,n<sub>1,</sub> m<sub>2</sub>,n<sub>2</sub> lar berilgan haqiqiy sonlar bo`lib |k|+|l|>0, m_2, m₂ Z, n_1, n₂  N hamda deb faraz qilamiz.
Bu integralda almashtirish qilamiz, bu yerda  berilgan n₁,n₂ natural sonlarning eng kichik karraliligidir.
Almashtirishni x ga nisbatan yechib,

ni olamiz.
Tenglikning o`ng tomoni t ga nisbatan ratsional funksiya ekanligi ravshandir. Uni differensiallab,