Reja: I. Kirish. II

Asosiy qism
Eyler integrallarini o’rganishdan oldin xosmas integral tushunchasi bilan tanishishimiz kerak.
kunksiya to’plamda berilgan bo’lib, o’zgaruvchining to’plamdan olingan har bir tayin qiymatida o’zgaruvchining funksiyasi sifatida oraliqda integrallanuvchi ya’ni
,
xosmas integral mavjud va chekli bo’lsin. Bu integral ning qiymatiga bog’liq bo’lib,

integral parametrga bog’liq (chegarasi cheksiz) xosmas integral deb ataladi.
Ushbu
,
parametrga bog’liq xosmas integrallar ham yuqoridagidek kiritiladi.
funksiya to’plamda berilgan, -maxsus nuqta bo’lib, to’plamdan olingan ning har bir tayin qiymatida oraliqda integrallanuvchi, ya’ni

xosmas integral mavjud bo’lsin.
Bu integral ham ning qiymatiga bog’liq bo’lib,

Integral parametrga bog’liq, chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali deb ataladi.
Endi esa Eyler integrallini o’rganamiz. Eyler integrallari 2 turga bo’linadi: I va II tur Eyler integrallari. I tur Eyler integrallari Beta funksiya, II tur Eyler integrallari esa Gamma funksiya deb ataladi.
Beta funksiya va uning tekis yaqinlashuvchiligi.
Ushbu

parametrga bog’liq xosmas integral beta funksiya (I tur eyler integrali) deyiladi va kabi belgilanadi.
, .
Demak, beta funksiya

to'plamda aniqlangan funksiya.
1-teorema. Ushbu

integral to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
funksiyani ifodalovchi integralni ikki qismga

ko'rinishida ajratib, har bir integralni tekis yaqinlashishga tekshiramiz.
Parametr , , , da

va bo’lganda

Integralning yaqinlashuvchi bo’lishidan Veyershtrass alomatiga ko’ra

integralning , da tekis yaqinlashuvchiligini topamiz. Shuningdek, parameter , , , da

va bo’lganda
integralning yaqinlashuvchi bo’lishidan Veyershtrass alomatiga ko’ra

integralning _, da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz. Demak,

integral to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Natija. funksiya

_to'plamda uzluksiz bo’ladi.
Bu tasdiq
integralning tekis yaqinlashuvchiligi hamda integral ostidagi funksiyaning to’plamda uzluksiz bo’lishidan kelib chiqadi.
funksiyaning xossalari.
Endi

funksiyaning xossalarini keltiramiz.
1) funksiya va argumentlariga nisbatan simmetrik funksiya, ya’ni:
, _.
ni ifodalovchi integralda almashtirish bajarib topamiz:

2) funksiyani quyidagicha ham ifodalash mumkin:

ni ifodalovchi integralda almashtirish bajarib topamiz:

Agar da , deyilsa, u holda

bo’ladi. Xususan: .
3) funksiya uchun ushbu
,
_{formula o’rinli bo’ladi.
Ravshanki,}
.
Bu integralni bo’laklab integrallaymiz:

Natijada

bo’lib, undan

bo'lishi kelib chiqadi.
funksiya simmetrik bo’lganligidan

ifodani yozish mumkin.