Reja: I. Kirish. II

Natija. funksiyaga va formulalarni takror qo’llash natijasida

bo’lishi kelib chiqadi.
Beta funksiya quyidagi xossalarga ham ega:
1.
2.
2’. ,
3. _.
4.


Gamma funksiya va uning yaqinlashuvchiligi.
Ushbu

parametrga bog’liq xosmas integral gamma funksiya ( II tur Eyler integrali) deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Demak, gamma funksiya da aniqlangan funksiya.
2-teorema. Ushbu

integral da da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
funksiyani ifodalovchi integralni ikki integral yig’indisi sifatida yozib olamiz:
.
So’ngra ikkala integralning ixtiyoriy segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz. Parametr , da

va da
integralning yaqinlashuvchi bo’lishidan Veyershtrass alomatiga ko’ra

integralning da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
Shuningdek, parametr , da
va
integralning yaqinlashuvchi bo’lishidan yana Veyershtrass alomatiga ko’ra

integralning da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz. Demak,

xosmas integral da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Natija. funksiya da uzluksiz bo’ladi.
Bu tasdiq

Integralning tekis yaqinlashuvchiligi hamda integral ostidagi funksiyaning
da uzluksiz bo’lishidan kelib chiqadi.
funksiyaning xossalari.
1) Gamma funksiya da barcha tartibdagi uzluksiz hosilalarga ega va
,
bo’ladi.
Ravshanki,
integral ostidagi funksiya

to’plamda uzluksiz bo’lib, uzluksiz

hosilaga ega bo’ladi. Yuqorida aytganimizdek,

tenglikning o’ng tomonidagi integrallar ixtiyoriy da tekis yaqinlashuvchi.
Ushbu , integrallarni qaraylik. Bu integrallardan birinchisi , da
va
integral yaqinlashuvchi bo’lganlidan Veyershtrass alomatiga ko’ra tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Shuningdek, ikkinchi integral ham da
va
integral yaqinlashuvchi bo’lganlidan yana Veyershtrass alomatiga ko’ra tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Parametrga bog’liq xosmas integralning parameter bo’yicha dufferensiallash haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

Demak,

funksiyaning da uzluksiz bo’lishi ravshan.
Xuddi shu yo’l bilan funksiyaning ikkinchi, uchinchi va hokazo tartibdagi hosilalarining mavjudligi, uzluksizligi hamda

bo'lishi ko’rsatiladi.
2) funksiya uchun ushbu

formula o’rinli bo’ladi.
Ravshanki,
Bu integralni bo’laklab integrallaymiz. Natijada

bo'ladi.
Ma’lumki, bo’lsa, bo’ladi. funksiyaning bu xossasini ifodalovchi munosabat funksiyaning dagi qiymatlariga ko’ra uning oraliqdagi qiymatlarini, umuman ixtiyoriy dagi qiymatlarini topish imkonini beradi.
Natija. funksiyaga formulani takror qo’llash natijasida

bo’lishi kelib chiqadi.
3) funksiyaning o’zgarish xarakteri. Ravshanki,
.
Yuqoridagi formulaga ko’ra

bo’ladi. Roll teoremasiga muvofiq , shunday nuqta topiladiki,

bo’ladi. Ayni paytda , da

bo’lganligi uchun funksiya da qat’iy o’suvchi bo’ladi.
Binobarin, funksiya nuqtadan boshqa nuqtalarda nolga aylanmaydi. Demak,

tenglama oraliqda yagona yechimga ega. U holda
da ,
da
bo’lib, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.
( bo’lishi topilgan).
funksiya da o’suvchi bo’lganligi uchun bo’lganda bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi. Agar da hamda

bo’lishini e’tiborga olsak, u holda

ekanligini topamiz.
Gamma funksiya quyidagi xossalarga ham ega:
1.
_2.
2’.
3. da uzluksiz va barcha tartibdagi uzluksiz xossalarga ega va

4.
5.
Xususan, da

_6. (Lejandr formulasi).
Misol. Ushbu

Integralni Eyler integrallari orqali ifodalang.
almashtirish natijasida integral quyidagi ko’rinishga keladi:
.
Bu integralda esa almashtirish bajaramiz.
U holda

bo'ladi.
Xususan, agar bo’lsa,

bo'ladi.
Agar , bo’lsa, u holda

bo'lib,

bo’ladi.
Demak,
.