Reja: Ikki argumentli funksiyaning xususiy hosilalari

10-Mavzu: Ikki o‘zgaruvchili funksiyani tadbiqi.
REJA:

1. 
   Ikki argumentli funksiyaning xususiy hosilalari.
   
2. 
   Ikki argumentli funksiyaning ekstremum qiymatlari
   
3. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyani tadbiqlarni qishlo xo’jalik va iqtisodiy masalalani yechishga qo‘llanilish.
   
4. 
   Mavzu bo’yicha tekshirish uchun savollar:
   

Darslikning - bobida bir o’zgaruvchili funksiyalarni iqtisodiy va qishloq xo’jalik masalalarini yechishga qo’llanilishini o’rgangan edik. Matematik modellashtirish yordamida, murakkab jarayonlarni ham iqtisodiy ko‘rsatkichlarini tahlil qilish mumkin([9]- [11]). Umumiy holda, mahsulot ishlab-chiqarish jarayoni, juda ko‘p omillarining funksiyasidan iborat bo‘ladi. Masalan, paxta etishtirish jarayoni urug‘ning sifatiga, tuproq unimdorligiga, o‘tkazilgan agrotexnik tadbirlarga, ob-havoga va boshqa ko‘plab omillarga bog‘liq bo‘lgan murakkab tasodifiy jarayondir.

Misol-1. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilasi yordamida tahlil qilish va ularning iqtisodiy ko‘rsatkichlarini baholash masalalarini o‘rganamiz.
Matematik modellashtirish yordamida, murakkab jarayonlarni ham iqtisodiy ko‘rsatkichlarini tahlil qilish mumkin. Ma’lum bir mahsulotlarni ishlab chiqaruvchi fermer xo‘jaligining iqtisodiy faoliyati o‘rganilayotgan bo‘lsin.
Vektor fermer xo‘jaligining o‘z mahsulotini ishlab chiqarish jarayonida, foydalanayotgan sohalarining turlari bo‘lsa, funksiya fermer xo‘jaligi ishlab chiqargan yalpi mahsulotning hajmi bo‘ladi.
funksiyani tayin bir mahsulot hajmiga teng bo‘lgan qiymatini izohlovchi chiziq izokvanta deyiladi. Umumiy holda o‘lchovli fazoda, imkoniyatlar sirtining izokvantasini ifodalaydi. vektorning barcha elementlari musbat bo‘lganligidan, sirtlar izokvantasi o‘lchovli fazoning 1-chi oktantasida tasvirlanadi, ning har-xil qiymatlarida o‘zaro kesishmaydi va koordinatalar o‘qlarini kesib o‘tmaydi. ning katta qiymatlarida, ya’ni mahsulot hajmi katta bo‘lganda, izokvanta ham koordinatalar boshidan uzoqda joylashadi.

135-shakl
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uchun, mahsulot ishlab chiqarishga mos, mehnat resurslarini egiluvchanligini aniqlaymiz.
Egiluvchanlik koeffitsienti quyidagicha aniqlanadi:
(20.17)
Yuqorida o‘rgangan bir o‘zgaruvchili funksiyalardagidek, ko‘p o‘zgaruvchili holda ham olingan xususiy hosilalar quyidagicha ma’nolarni bildiradi:
a). ishlab chiqarish omilining limitik effektivligi;
v). ga nisbatan, mahsulot hajmining egiluvchanligi;
s). resursni, x_j ga nisbatining limitik o‘lchov normasi;
d). resursni, x_i resurs bilan almashtirganda ishlab chiqarish funksiyasini egiluvchanligini bildiradi.
ko‘p o‘zgaruvchili ishlab chiqarish funksiyasining qiymati, resursni o‘rtacha samaradorligini bildiradi. Uning limitik samaradorligi bo‘lib, u resur xarajatini kichik birlikka o‘sishidan, limitik mahsulot miqdorini unga mos ravishda o‘sishini bildiradi.
Qisqa muddatda ishlab chiqarish texnalogiyasini katta o‘zgarmaganligi sababli yuqorida keltirilgan ishlab-chiqarish jarayonlari qishloq xo‘jaligini turli sohalarida ko‘p uchraydi.
resursni o‘rtacha va limitik samaradorligi, boshqa resurslarga sarf xarajatlarni oshish bilan, o‘zgaradi bu munosbat quyidagicha yoziladi:
(20.18)
Malumki, mehnat unumdorligi ishni sifatli bajarilgan tashqari, ishlab chiqarish vositalarining yangilanishiga ham bog‘liq bo‘ladi.
Bir-nechta resurslarda, xarajatni kichik miqdorda o‘zgarishiga mos keluvchi, mahsulot hajmining o‘zgarishi quyidagi to‘la differensial yordamida ifodalanadi:
(20.19)
Ikki xil va resurslarni ekvivalent almashish formulasi
(20.20)
Bir resursni boshqa unga ekvivalenti bilan almashtirish jarayoni izokvantaga yondoshib harakatlanishdir. Shu sababli izokvanta ba’zan almashtiruvchi egri chiziq deyiladi. Agar resursga xarajat oshsa, mahsulot hajmini avvalgi miqdorda saqlab qolish uchun, resursni xarajatlarini mos ravishda kamaytirishga to‘g‘ri keladi.
Bundan kelib chiqadiki, izokvanta har bir o‘qqa nisbatan kamayuvchi funksiya bo‘ladi, ya’ni manfiy og‘ishga ega bo‘ladi. Bu holda izokvantani har bir nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti manfiy son bo‘ladi, ya’ni urinmani tashkil qilgan burchagi o‘tmas burchakdan iborat bo‘ladi.
Ko‘p o‘zgaruvchili ishlab chiqarish funksiyasi, barcha argumentlari bo‘yicha bir jinsli funksiyadan iborat bo‘ladi: . Bu tenlikning iqtisodiy ma’nosini quyidagicha talqin qilish mumkin:
1) barcha ishlab chiqarish sohalarining turlarida, xarajatni marta oshishidan, jami ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini marta oshishi kelib chiqadi. Xususan bo‘lsa mehnat unimdorligi o‘zgarmas, 2) bo‘lsa mehnat unimdorligi kamayadi, 3) bo‘lsa mexnat unimdorligi oshadi.
Misol-2. Faraz qilaylik, ishlab chiqarish korxonalarining iqtisodiy faoliyati faqat ikkita parametrga x-ish resurslari va y-ishlab chiqarish fondiga bog‘liq bo‘lsin. Natijada, korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotning hajmi Z, o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan x va y o‘zgaruvchilarning funksiyasi, sifatida makroiqtisodiyotda o‘rganilishi mumkin([9]- [11])
(20.21)
Makro va mikroiqtisodiyotda funksiyada x va y o‘zgaruvchilardan birortasini qatnashmasligidan, korxonada ishlab chiqarish jarayoni ro‘y bermasligi tushuniladi, ya’ni quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
20.22)
Bundan tashqari x va y o‘zgaruvchilarning proporsional ravishda ortishidan, korxonaning ishlab chiqargan mahsulotining hajmi ham unga proporsional ravishda ortadi:
(20.23)
Bu tenglikdan xususan m=3 bo‘lganda, ishlab chiqarish resurslari va ishlab chiqarish fondining 3 marta ortishidan, korxonaning ishlab chiqargan mahsuloti hajmi ham 3 marta ortishi kutiladi. (20.23) tenglik bu funksiyani chiziqli, bir jinsli ekanligini bildiradi.
Amerikalik olimlar Charlz Kobb va Pol Govard Duglas 1920-1930 yillarda, AQSHning iqtisodiy rivojlanishini, statistik ma’lumotlar bo‘yicha tahlil qilib, milliy daromadning o‘sish dinamikasi, ishlab chiqarishga sarflangan kapital va mehnat orasidagi bog‘lanishning matematik modelini yaratishdi. Bu bog‘lanish Kobba-Duglas funksiyasi nomini oldi:
(20.24)
Kobba-Duglas funksiyasi yuqorida keltirilgan (20.22) va (20.23) shartlarni qanoatlantiradi:
1) Haqiqatdan ham x=0 bo‘lishidan, y=0 kelib chiqadi, ya’ni mehnat resurslari mavjud bo‘lmasa, ishlab chiqarish ham bo‘lmaydi.
2) ,
ya’ni Kobba-Duglas funksiyasi chiziqli, bir jinsli funksiya.
Funksiyani differensiallashuvchanligidan foydalanib funksiyaning o‘sish oralg‘ini aniqlash mumkin.
Agar y - o‘zgarmas bo‘lib bo‘lsa va x-o‘zgarmas bo‘lib bo‘lsa, funksiya mos ravishda x va y o‘zgaruvchilar bo‘yicha o‘suvchi bo‘ladi.
Kobba-Duglas funksiyasini xususiy hosilalarini topamiz:
(20.25)
Haqiqatdan ham masala shartiga asosan x>0, y>0, 0 (20.26)
musbatligi kelib chiqadi, ya’ni Kobba-Duglas funksiyasi o‘suvchi funksiya.
Demak, x mehnat resurslarini va y ishlab chiqarish fondining o’sishi, milliy daromadni o’sishiga olib keladi.
Kobba-Duglas funksiyasini ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini hisoblaymiz:
(20.27)
Bu yerda ham x>0, y>0, 0 (20.28)
(20.29)
Demak, Kobba-Duglas funksiyasi har bir o‘zgaruvchi bo‘yicha qavariq (20.28) funksiya bo‘ladi.
Huddi shunday (20.19) munosabatdan ikkala resurslarni mehnat resurslari va ishlab chiqarish fondini bir vaqtda o‘sishidan, korxona ishlab chiqaradigan jami mahsulotning hajmini ham o‘sishi kuzatiladi.
Kobba-Duglas funksiyasidan, masalani qo‘yilishiga qarab, turli iqtisodiy masalalarni yechishda foydalanish mumkin.
Sobiq SSSRning 1960-1985 yillardagi iqtisodiy ko‘rsatkichlarini statistik tahlil qilib, Kobba-Duglas funksiyasida qatnashuvchi parametrlarni taqriban quyidagicha ekanligi baholangan: S₀=1,022; a=0,5382. Natijada, sobiq Sovet ittifoqining milliy daromadnini Kobba-Duglas funksiyasi quyidagicha bo‘lishligi aniqlangan:
(20.30)
(20.30) formulada prognoz qilishning xatosi 3% dan oshmasligi ko’rsatilgan.
Hozirgi makroiqtisodiy jarayonlarni tahlil qilishda, quyidagi takomillashgan Solou funksiyasidan ko‘proq foydalaniladi:
(20.31)
Solou funksiyasining sobiq Sovet ittifoqini milliy daromadini aniqlovchi parametrlari quyidagicha: S₀=0,99; a=0,257; p=1,994.