Ta'rif. Ikki oʻzgaruvchi funksiyaning birinchi qisman hosilalari nolga teng boʻlgan nuqtalar statsionar nuqtalar deyiladi

Ta'rif. Ikki oʻzgaruvchili funksiyaning ekstremum nuqtalari bu funksiyaning minimal va maksimal nuqtalari hisoblanadi. Funktsiyaning o'zining ekstremum nuqtalaridagi qiymatlari ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining ekstremallari deb ataladi.

Ta'rif. P(x0, y0) nuqta ikki o‘zgaruvchili z = z(x, y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar funksiyaning bu nuqtadagi qiymati unga yaqin joylashgan nuqtalardan katta bo‘lsa. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati ikki o‘zgaruvchining funksiyasining maksimali deyiladi.

Ta'rif. P(x0, y0) nuqta ikki o‘zgaruvchili z = z(x, y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar funksiyaning bu nuqtadagi qiymati unga yaqin joylashgan nuqtalardan katta bo‘lsa. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati ikki o‘zgaruvchining funksiyasining maksimali deyiladi.

Teorema (ikki o'zgaruvchili funktsiya ekstremumining zaruriy belgisi). Agar P(x0, y0) nuqta ikkita o‘zgaruvchili z = z(x, y) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsa, bunda funksiyaning birinchi qisman hosilalari (“x” va “y” ga nisbatan) bo‘ladi. nuqta nolga teng yoki mavjud emas:

Ta'rif. Ikki oʻzgaruvchi funksiyaning birinchi qisman hosilalari nolga teng boʻlgan nuqtalar statsionar nuqtalar deyiladi.

Ta'rif. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasining birinchi qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalar kritik nuqtalar deyiladi.

Bitta o'zgaruvchili funktsiyada bo'lgani kabi, ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumining mavjudligi uchun zarur shart etarli emas. Funktsiyaning birinchi qisman hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan hollarda juda ko'p funktsiyalar mavjud, ammo mos keladigan nuqtalarda ekstremallar mavjud emas. Har bir ekstremal nuqta tanqidiy nuqtadir, lekin har bir tanqidiy nuqta ekstremum emas.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi mavjudligining etarli belgisi. P nuqtada ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi mavjud bo'ladi, agar bu nuqtaga yaqin joyda funktsiyaning umumiy o'sish belgisi o'zgarmasa. Kritik nuqtada birinchi to'liq differentsial nolga teng bo'lganligi sababli, funktsiyaning o'sishi ikkinchi to'liq differentsialni aniqlaydi.

Umumiy differensialni qo'llashni eng yaxshi tushunish ushbu darsning ikkinchi nuqtasidan keyingi ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremallarini topish algoritmining 3 va 4-bosqichlarini o'rganish va mashq qilishdan kelib chiqadi.

Ikki o'zgaruvchili funktsiya ekstremasining mahalliy xarakteri. Funktsiyani aniqlash sohasining istalgan qismidagi ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiyaning maksimal darajasi, har qanday qismdagi minimal, butun ta'rif sohasidagi minimal bo'lmagani kabi, butun ta'rif sohasi uchun maksimal bo'lishi shart emas. Keling, dengizning qirg'oq mintaqasidagi to'lqinlarning balandligini ko'rib chiqaylik (bo'lim mintaqadan kichikroq). Keyin bu sohada biz (hech bo'lmaganda vizual ravishda) eng yuqori to'lqin balandligini qayd etishimiz mumkin. Ammo shamol kattaroq to'lqin balandligini keltirib chiqaradigan boshqa hududda biz minimal to'lqin balandligini qayd etamiz. Bu birinchi qismdagi maksimal to'lqin balandligi ikkinchi qismdagi minimal to'lqin balandligidan kamroq bo'lishi mumkinligini anglatadi. Shuning uchun, bir o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasida bo'lgani kabi, bu tushunchaga aniqlik kiritish va ikki o'zgaruvchili funktsiyaning mahalliy ekstremasi sifatida ekstremal haqida gapirish kerak.