Режа Интеграл тенгламалар ва уларнинг турлари

2.Интеграл тенгламалар ва уларга келтирилган масалалар

1. 
   1. Волътерранинг чизиқли интеграли тенгламалари
   

1. 3-таъриф. Ушбу


Кўринишдаги тенглама Волътерранинг биринчи тур чизиқли интеграл тенгламаси дейилади. Унда интеграл остидаги функция функцияга нисбатан чизиқли. (1.1) тенгламада функция сегментда, функция эса , соҳада берилган ҳамда ўз аргументлари бўйича узлуксиз функциялардир. Ундан ташқари, – ўзгармас сон (параметир), a,b – берилган ҳақиқий ўзгармас сонлар, функция (1.1) тенгламанинг ядроси, эса озод ҳади дейилади.

4. 
   –таъриф. Ушбу
   

Кўринишдаги тенгламани Волътерранинг иккинчи тур чизиқли интеграл тенгламаси дейилади. Бунда номалум функция интеграл белгисидан ташқарида ҳам алоҳида ва чизиқли бўлиб қатнашмоқда.
Агар (1.2) тенгламада ихтиёрий учун бўлса, (1.2) дан
Тенглама ҳосил бўлади ва у Волътерранинг бир жинсли чизиқли интеграл тенгламаси деб аталади.

4. 
   –таъриф. Ушбу
   

Кўринишдаги тенглама Волътерранинг учинчи тур чизиқли интеграл тенгламаси деб аталади.
Агар ихтиёрий учун бўлса, (1.4) дан (1.1) тенглама,
Бўлса, (1.4) дан (1.2) тенглама келиб чиқади.
Баъзи ҳолларда ядро хусусан , яъни айирманинг функцияси кўринишига эга бўлиши мумкин. Бу ҳолда, жумладан, ушбу

Тенглама Воиътерранинг ўрам (йиғма) типидаги интеграл тенгламаси деб юритилади.
Агар Волътерра тенгламаларида ёки бўлса, ушбу

Тенгламаларга, агар ядро қаралаётган соҳанинг бир ёки бир нечта нуқтасида чексизликка айланса, масалан, ушбу

Тенгламаларга, эга бўламиз. Уларни Волътерранинг махсус интеграл тенгламалари дейилади.
Волътерра тенгламаларида интеграллаш чегараларидан бири ёки иккаласи ҳам функциядан иборат бўлиши мумкин. Ушбу



Тенгламалар ана шундай тенгламалардандир.

4. 
   - таъриф. Ушбу
   

Тенгламалар системаси Волътерранинг иккинчи тур чизиқли интеграл тенгламалари системаси деб аталади. Бу системани

Белгилашлар киритиб вектор формада қуйдагича ёзиш мумкин:

Юқорида қаралган Волътерра тенгламаларида иштирок этадиган номаълум функциялар кўп аргументли, жумладан, икки аргументли бўлиши ҳам мумкин. У ҳолда, масалан, Волътерранинг иккинчи тур тенгламаси қуйдагича ёзилади:

Бунда озод ҳад соҳада ва ядро соҳада аниқланган деб ҳисобланади. Баъзан (1.15) тенгламанинг ўнг томонида икки каррали интегралдан яшқари оддий интеграллар ҳам қатнашиши мумкин. Бу ҳолда қуйдаги умийроқ тенгламага эга бўламиз:


Юқорида келтирилган (1.1) – (1.16) тенгламаларнинг ҳар бири учун тегишли оралиқда (ёки соҳада) аниқланган ва узлуксиз, берилган тенгламани айниятга айлантирувчи ҳар бир функция берилган тенгламанинг ечими деб аталади. Ечимнинг мавжудлиги, ягоналигиҳақидаги масалалар дифферинсиал тенгламалардаги каби муҳум аҳамият касб этади. Бу масалаларни кўришдан аввал баъзан содда мисолларга тўхталамиз.
1 – м и с о л. Ушбу

Волътерра тенгламасининг ечими функциядан иборат эканлигини кўрсатинг.
ЕЧИМ. Берилган тенгламанинг ўнг томонидаги нинг ўрнига функцияни қўйиб, қуйдагига эга бўламиз:

Шундай қилиб, берилган тенгламадаги ўрнига да аниқланган функцияни кўрсак, тенглама айниятга айланади. Бу эса [0, ∞) да аниқланган узлуксиз функция берилган тенгламанинг ечими эканлигини билдиради.
2 –м и с о л. Ушбу
Интеграл тенглама учун , узлуксиз функция ечим эканини кўрсатинг. Юқоридаги каби бевосита ҳисоблашлар ёрдамида бунга ишонч ҳосил қилиш мумкин.
3 – м и с о л. Ушбу

Биринчи тур Волътерра тенгламаси берилган бўлиб, бу ерда функция интегралда узлуксиз ҳосилага эга ва бўлсин. Унинг ечими функциядан иборат эканини кўрстинг.
Э ч и ш. Тенгламадаги ўрнига ни кўрамиз:

Бундан функция берилган тенгламанинг ечими экани келиб чиқади.