Reja: Interpolyatsion masalaning qo’yilishi Chiziqli interpolyatsiya Nyuton-Kotes formulasi

Nyuton-Kotes formulasi

Nyutonning interpolyatsion formulasi. Nyutonning birínchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bolsín,ya’ni argumentning n= 1 x₀, x₁,x₂,...x_n qiymatlarida funksiyaning qiymatlari y₀,y₁, ...y_n bo`lsin.
Tugunlar orasidagi masofa h o'zgarmas bo’lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni
quramiz:
(4)
Bunda qatnashayotgan a₀, a₁ .... a_n noma’lum koeffitsientlarni topishni x=x_n bo’lgan holdan boshlash kerak. So'ngra argumentga x_n-1,x_n-2, ... qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.
Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (1) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a₁, a₂ , ....a_n larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (1) formulaga qo‘ysak,
(5)
ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada q={x-xn)/h belgilash kiritsak,
(6)
hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (5) formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.
Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha boladi:

bu yerda q=(x-x_n)/h,ϵ [x₀, x_n].
Agar funktsiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi

bo`ladi.
Kvadratik (parabolik) interpolyatsiyalash. Kvadratik interpolyatsiyada interpolyatsion ko‘phad sifatida [xi–1, xi+1],[а, b] oraliqdan olingan kvadrat uchhad qaraladi:
, (7)
Bunda ai, bi, ci koeffitsiyentlarni aniqlash uchun tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan:
(8)
Hisoblash algoritmi yuqoridagi mavzuga o‘xshash, biroq (6) munosabat o‘rniga (8) sistemani yechish maqsadida (7) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki, uchun 3 ta eng yaqin nuqtalar olinadi. Usulning grafik tasviri quyidagicha:

Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida nazariy xatolikni topish formulasi: