Режа: Иррационал сон тушунчасини киритиш методикаси. Ҳақиқий сонлар

2^о. Аниқ чегараларнинг мавжудлиги.
Айтайлик,

мусбат ҳақиқий сон бўлсин., бунда

Н {О} Н₀={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} н н₀
Ушбу

= =

= =

рационал сонлар учун бўлади.

Демак, ихтиёрий ҳақиқий сон олинганда ҳам шундай иккита рационал сон топиладики, улардан бири ҳақиқий сонлардан кичиқ ёки тенг, иккинчиси эса бу ҳақиқий сондан катта бўлади.
Энди сонлар тўпламининг аниқ, чегараларининг мавжудлиги ҳақидаги теоремаларни келтирамиз.
3-теорема. Агар бўш бўлмаган тўплам юқоридан чегараланган бўлса, унинг аниқ юқори чегараси мавжуд бўлади. Бу теоремани Е [0,+∞), Е 0 тўплам учун исботлаймиз. Фараз қилайлик, Е тўплам юқоридан чегараланган бўлсин.:
Архимед аксиомасини эҳтиборга олиш мумкин.
Энди Е тўплам
( )
елементларининг ларидан иборат тўпламни F0 дейлик
F₀={ {0}| }
Бу тўплам юқоридан М сони билан чегараланган ва Ф 0. Равшанки, F0 {О} Бундан F0 тўпламнинг чекли эканлигини топамиз. Демак, F0 тўпламнинг энг катта элементи мавжуд. Уни с₀ дейлик:
maxF₀=c₀
Е тўпламнинг

кўринишдаги барча элеменрларидан иборат тўпламни Е₀ деб оламиз.;
Е₀={ }
Равшанки
Энди Е₀ тўплам

елементларининг ларидан иборат тўпламни олиб, уни F₁
F₁={ }
Бу чекли тўплам бўлиб, (F ).Шунинг учун унинг энг катта элементи мавжуд. Уни деб оламиз.; maxF1=
Е₀ тўпламни

кўринишдаги барча элеменрларидан иборат тўпламни Е₁ деб оламиз.
Е₁={ }
Равшанки Е₁ Е₀ , Е₁ 
Энди Е₁тўплам элементларининг ларидан иборат тўпламни олиб уни Ф₂ дейлик
F₂={ }
Бу тўплам ҳам чекли ва F₂  бўлиб, унинг энг катта элементи мавжуд:
max F₂=c₂
Е₁ тўпламнинг

кўринишдаги барча элементларидан иборат тўпламни Е₂ деб оламиз.:
Е₂={ }
Бу жараённи давом эттира бориш натижасида
а= …
ҳақиқий сон ҳосил бўлади.
Энди Е тўплам ва бу а сони учун 1-теореманинг иккала шартларини бажарилишини кўрсатамиз.
Юқоридаги (1) муносабаtgа кўра
учун бўлади.
Агар <с₀ бўлса, у ҳолда <а бўлади.
Агар бўлса у ҳолда бўлиб, (2) муносабаtgа кўра бўлади.
Агар <с₁ бўлса, у ҳолда <а бўлади.
Агар бўлса у ҳолда бўлиб, (2) муносабаtgа кўра бўлади.
Бу жараённи давом эттириш натижасида икки ҳолга дуч келамиз.:
а) шундай н≥0 топиладики,
<с_н
бўлиб, <а бўлади.
б) ихтиёрий н≥0 да =с_н бўлиб, =а бўлади.
Демак, ҳар доим ≤а муносабат ўринли бўлади.
а сондан кичиқ бўлмаган ихтиёрий

ҳақиқий сонни олайлик:
<
Унда шундай н≥0 топиладики,
<
бўлади. Шуни эҳтиборга олиб, учун
х>
бўлишини топамиз.
Шундай қилиб теоремадан Е тўплам ва а сони учун 1-теореманинг иккала шартини бажарилиши кўрсатилади.Унда 1-теоремага мувофиқ Е тўпламнинг аниқ юқори чегараси мавжуд ва
а=sup E.

1. 
   бўлиши келиб чиқади.Худди шўнга ўхшаш қуйидаги теорема исботланади.