Reja: Kirish I bob. Uzluksiz funksiyalar

2.2-§. Absolyut uzluksiz funksiyalar

Endi absolyut uzluksiz funksiyalar sinfini kiritamiz. Bu funksiyalar sinfi o`zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfidan kengroq bo`lib, jamlanuvchi funksiyalarning aniqmas integrali bilan yaqin bog`langan.

1-ta`rif . segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo`lsaki, soni chekli va har ikkisi o`zaro kesishmaydigan har qanday
(1)
segmentlar sistemasi uchun
(2)
shartlar bajarilganda



tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya segmentda absolyut uzluksiz deyiladi.
Ta`rifdan ravshanki, har qanday absolyut uzluksiz funksiya odatdagi ma`noda ham uzluksiz: buni ko`rsatish uchun yuqoridagi ta`rifda deb olish kifoya .
Absolyut uzluksiz funksiyaga misol sifatida Lipshis shartini, ya`ni

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalarni olishimiz mumkin.
Haqiqatan ham, agar segmentlar sistemasi uchun shartlar bajarilsa, u holda

bo`lib, sonni deb olsak,

bo`ladi.
1-teorema: Agar va funksiyalar absolyut uzluksiz bo`lsa, u holda ularning yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasi ham absolyut uzluksiz bo`ladi.
Agar berilgan segmentda nolga teng bo`lmasa, u holda ham o`sha segmentda absolyut uzluksiz bo`ladi.
Isbot: Yig`indi va ayirmaning absolyut uzluksizligi quyidagi tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi:


va lar bilan mos ravishda va larning dagi aniq yuqori chegarasini belgilab,





munosabatlarni yozishimiz mumkin. Bundan esa ko`paytmaning absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.


2-teorema: segmentdagi absolyut uzluksiz funksiya bu segmentda o`zgarishi chegaralangandir.
Isbot: funksiya segmentda absolyut uzluksiz bo`lsin. U holda funksiya uchun ga mos son mavjudki, uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`lgan o`zaro kesishmaydigan va soni chekli intervallarning

sistemasi uchun

tengsizlik o`rinli.
Bu son bo`yicha shunday natural son topish mumkinki, segmentni har birining uzunligi dan kichik bo`lgan ta qismga bo`lish mumkin, ya`ni



va

So`ngra, segment o`zaro kesishmaydigan va soni chekli qanday qismlarga bo`linmasin, quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:
va demak,
ya`ni ning o`zgarishi chegaralangan. Teorema isbot bo`ldi.