Режа: Кўп ўзгарувчили функцияларнинг экстремумлари. Зарурий шартлар

 2. Стационар нуқталар текшириш (икки ўгарувчили бўлган ҳол). Бир 
ўзгарувчили функция бўлган ҳолга ўхшаш бу ерда ҳам статсионал 
нуқталарда экстремум борлиги умуман таъминланамайди. Агар, мисол учун 
содда
функцияни 
59 – чизма. 
олсак, бу функция учун 
ва
лар ягона (0.0) бошлангич нуқтада 
бир вақтда нолга тенг бўлади ва унда
 
Бироқ, бу нуқтанинг ихтиѐрий атрофида функция ҳам мусбат, ҳам манфий 
қийматлар қабул қилиши бевосита аниқдир ва демак экстремум йўқдир. 59 – 
чизма 
тенгламабилан ифодаланган сирт (гиперболик паробалоид) 
тавирланган; бу сирт бошланғич нуқтанинг яқинида бири вертисал 
текисликдаюқорига, иккичиси паста эгиладиган эгарсимон шаклга эга.  
Шундай қилиб, экстремумнинг борлиги (ѐки йўқлиги) ҳақидаги етарли 
шартлар масаласи, статсионал нуқталарни қўшимча текширилиши ҳақидаги 
масалага олиб келади. 
Биз 
( ) икки о зъгарувчили функция бўлганҳол билан чекланамиз. Бу 
функция бирорта 
( 
) статсионал яъни
( 
)
( 
) (1а) 

---

шартлар қаноатлаштирадиган нуқтанинг атрофида аниқланган, узлуксиз ва 
узлуксиз биринчи тартибли ҳосилаларга эга деб фараз қилайлик. 
Ҳақиқатан ҳам, бизнинг функция (
) нуқтада экстремумга эга ѐки эга 
эмаслигини аниқлаш учун 
( ) ( 
) 
айирмани қарашга мурожаат этиш табийдир. Буни Тейлор формуласи бўйича 
Лагранж кўринишдаги қолдиқ ҳадли [150-
-(5)кўринишида ѐзамиз ва икки 
ҳад билан чекланамиз. Бунда(
) нуқта статсионал дейилганлигидан, 
биринчи ҳад юқоладива биз соддагина 
∆=
2 
3
(2) 
ифодага эга бўламиз. Бунда 
орттирмаларнинг ролини
айирмалар ўйнайди ва ҳосилаларнинг ҳаммаси бирор 
(
) 
Нуқтада ҳисобланганлар. 
Бу ҳосилаларнинг синалаѐтган нуқталардаги қийматларини текширамиз: 
( 
)
( 
)
( 
) (3) 
(
)
( )
( )
дейлик, демак, икккинчи ҳосилаларнинг узлуксизлигиган
да 
ҳаммма 
(4)келиб чиқади. айирма қуйидаги шаклада ѐзилади: 
* 
+
Айирманинг 
ишораси 
ифоданинг 
ишорасига 
муҳим 
боғлиқларигини кўрсатамиз. 
Муҳокамани енгиллаштириш учун энди биз
деб оламиз, бу ерда 
√
ни (
) нуқта билан ( )нуқта 
орасидаги масофа деймиз.

---

У вақтда, узил-кесил 
* 
+2 
+ 
+ 
+2
+ 
} 
бўлади. 
Аввало
бўлсин. 
Бу ҳолда
демак,
ва * + қавсдаги биринчи учҳад 
,( 
)
( 
)
- (5) 
шаклда ѐзилиши мумкин. [. . .] қавс орасидаги ифода ҳамма вақт мусбатли 
аниқ, демак, эслатилган учҳад
нинг ҳаммма қийматлари нолга тенг 
бўлмасдан,
коеффисиентнинг ишорасини сақлайди. Унинг абсолют 
қиймати, [0, 2
] оралиқда нинг узлуксиз функция бўлиб, энг кичик 
(шубҳасиз мусбат) 
қийматга эга: 
[
+2 
+ 
]
Иккинчи томондан, агар *
+ қавсдаги иккинчи учҳадга мурожаат 
қилсак,(4) ни ҳисобга олганда. 
| 
| | 
| | 
| | 
|
Тенгсизлик, агар
( билан ва лар) етарли кичик бўлса, ҳамма лар 
учун ўринлидир.Лекин , у вақтда {. . .} қавсдаги ҳаммма ифода ва, демак, 
айирма ҳам, учҳаднинг биринчиси, яъни
нинг ишорасини сақлайди. 
Шундай қилиб, агар
бўлса, у ҳолда яъни функция 
қаралаѐтган (
) нуқтада минумумга,
бўлганда , яъни 
максимумга эга. 
нди
деб фараз этайлик. 
Биз
бўлган ҳолга тўхтаймиз ; бу ерда ҳам (5) дан фойдаланиш 
мумкин. 
Қавслар ичидаги ифода 
ни 
(
) 

---

шартдан топилса у ҳолда бу ифода 
( 
)
га келтирилади ва 
у манфий бўлади.{. . .} қавсдаги иккинчи учҳад 
етарли бўлганда,
да 
ҳам, 
да ҳам исталганча кичик бўлади ва 
нинг ишораси биринчи 
учҳаднинг ишораси билан анаиқланади . Шундай қилиб, қаралаѐтган
( 
)нуқтанинг етарли яқинида
ва 
бурчаклар воситаси 
билан аниақланган нурларда,
айирма қарама-қарши ишорали қийматларга 
эга. Демак, бу нуқтада экстремум бўлиши мумкин эмас. 
Агар 
бўлса, ва {. . .} қавсдаги биринчи учҳад
2
+ 
= (2 
) 
кўринишга келтирилса, у ҳолда 
дан фойдаланиб,
бурчакни 
шундай аниқлаш мумкинки, бунда 
| 
‖
| | 
‖
| 
бўлади. 
У вақтда 
ва 
да эслатилган учҳад қарама-қарши 
ишорага эга бўлади ва юқоридек мулоҳазани охиргача юритилади. 
Шундай қилиб, агар 
>0 бўлса, у ҳолда текширилаѐтган (
) 
статсионар нуқтада 
( ) функция экстремумга, айнан
да 
максимум ва 
да минимумга эга бўлади. Агарда
бўлса, у ҳолда 
экстремум йўқдир. 
бўлган ҳолда эса масалани ечиш учун юқори тартибли 
ҳосилаларни жалб этишга тўғри келади; шунинг учун бу ,,шубҳали“ ҳолни 
четда қолдирамиз. 
Изоҳ. Биринчи марта эйлер 
( ) функция( 
)нуқтада экстремумга 
эга бўлиши учун зарурий шарт деб 
( 
)
( 
)
шартни кўрсатган эди.Бироқ у функция учун ҳар бир ўзгарувчи бўйича 
алоҳида бир типда экстремумнинг бўлиши етарли шартдир деб (масалан, 
агар 
ва
лар бир хил ишорали бўлсалар бу ўринлидир) ўйлаб хато 

---

қилган эди. Лагранж эйлернинг хатосини тушунади ва етарли шарт сифатида 
( 
)
тенгсизликликни аниқлайди. Унинг ўзи тенг сизликнинг тескари экстремум 
йўқлигига сабаб бўлишгини кўрсатади, лекин буни тўла асослай олмаган.