Режа: Кўп ўзгарувчили функцияларнинг экстремумлари. Зарурий шартлар

---

26-маъруза. Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремум қийматлари. 
Экстремумнинг зарурий ва етарли шартлари. 
Режа: 
1. Кўп ўзгарувчили функцияларнинг экстремумлари. Зарурий шартлар.
2. Стационар нуқталарни текшириш (икки ўзгарувчили бўлган ҳол). 
3. Функциянинг энг катта ва энг кичик қийматлари. 
4. Масала. 
1. Кўп ўзгарувчи функцияларнинг экстремумлари. Энди, 
ўзгарувчиларни чизиқли алмаштирганда юқори тартибли дифференциаллар 
учун ҳам инвариантлик хосаси ўринли бўлишидан фойдаланиб,
( )
( 
)
( 
) ( 
)  
 
( )
( 
)
( 
)
( 
)
 
( 
) 
ва ҳоказолар ҳосил қиламиз. Ниҳоят, 
( ) дифференциал учу
( )
( 
) 
га эгамиз. 
Бу ердаги 
ва дифференциаллар аввал олинган ва 
орттирмаллардан ҳеч фарқ қилмасликни эслатиб ўш муҳимдир. 
Ҳақиқатан 
бўлганидан 
Буларнинг ҳаммасини (7) ѐйилмага қўйсак, талаб этилган (5) ѐйилмага 
келамиз. 
Кўп ўзгарувчи ли функция учун дифферисиал шаклида олинган Тейлор 
формулси, бир ўзгарувчили функцияда бўлганидек содда кўринишда эга 
бўлса ҳам, ѐйилган шаклда қанча мураккаблигига талаба аҳамият бериши 
керак. 
Кўп ўзгарувчи функцияларнинг экстремумлари. зарурий шартлар. Фараз 
қилайлик,
( 
) 

---

функция Д соҳада аниқланган ва
( 
) бу соҳанинг ички нуқтаси 
бўлсин. 
Агар
( 
) нуқтани 
( 
) 
атроф билан ўраш мумкин бўлса ва, буатрофнинг ҳамма нуқталарида 
( 
) ( 
) ( ) 
тенгсизлик бажарилса, у ҳолда 
( 
) функция ( 
) 
нуқтада максимум (минимум)га эга дейилади. 
Агар бу атрофни тенглик ишораси ўринсиз бўладиган даражада кичик 
бўлса, яъни 
( 
) нуқтадан бошқа нуқталарда 
( 
) ( 
) ( ) 
тенгсизлик 
қатий 
бажарилса, 
ухолда
( 
) 
нуқтада 
хос 
максимум(минимум) юз беради: акс ҳолда максимум(минимум) хосмас 
дейилади. 
Максимум ва минумумларни белгилаш учун умумий термин экстремум 
ишлатилади. 
Функциямиз бирор
( 
) нуқтада экстремум эга деб фараз 
қилайлик. 
Агар бу нуқтада чекли 
( 
), . . . ,
( 
 . . . , 
) 
Хусусий ҳосилалар мавжуд бўлса ухолда бу ҳосилаларнинг ҳаммаси нолга 
тенг эканлигини исбот этамиз ва демак, биринчи тартибли хусусий 
хосилаларнинг нолга тенг бўлиши экстремум мавжуд б ълишининг з а р у р и 
й шарти бўлади. 
Шу мақсадда 
 
ни ўзгарувчи деб олиб, 
. . . ,
дейлик, 
йвақтдаубитта 
ўзгарувчининг функцияси бўлиб қолади:
( 
) 
Биз
( 
) нуқтада экстремум мавжуд деб фараз этганимиздан 
(аниқлик учун 
максимум бўлсин ) хусусий ҳолда, бу ердан нуқтанинг 
бирорта 
атрофида 
( 
) ( 
) 
тенгсизликнинг бажарилиши зарурлиги келиб чиқади , демак, юқорида 
эслатилган бир ўзгарувчили функция 
нуқтада максимумга эга, 
бундан Ферма теоремасига мувофиқ[100- 
- 
( 
)  
Бўлиши керак. Шунга ўхшаш (
) нуқтадақолган ҳосилалар ҳам 
нолга тенглигини кўрсатиш мумкин. 

---

Шундай қилиб, экстремум, бўйича “шубхали” деб шундай нуқталар 
олинадики, унда функциянинг биринчи тартибли хусусий ҳосилаларинолга 
тенг бўлади. Уларнинг координаталари- ни ушбу 
( 
)
( 
)
( 
) }
Тенгламалар системасини ечиб топилади. 
Бир ўзгарувчили функциялардаги сингари, бундай нуқталар с т а т с и о н 
а лнуқталар дейилади.