Reja: Qurilqan matematik modellarning sonli yechish usullari

Chegaraviy shartning approksimatsiyasi;

(4) - chegaraviy ayirmali shartni tadqiq etamiz.

qilib belgilaymiz. Agar - ihtiyoriy yetarlicha silliq funksiya bo`lsa, unda

ya’ni, h bo`yicha birinchi tartibli approksimatsiya o`rinli ekanligini ko`rish qiyin emas.
Ammo, agar -(1),(2) masalaning yechimi bo`lsa, unda (4) ayirmali chegaraviy shart (2) chegaraviy shartni ikkinchi tartibli approksimatsiyalaydi, ya’ni

Bu aytilganlarni isbot qilamiz.

yoyilmalardan foydalansak

_Bundan

(2) - chegaraviy shartni inobatga olib

tenglikka ega bo`lamiz. (1)- tenglamani inobatga olib kvadrat qavslar ichidagi ifodani

shaklda yozamiz.

munosabatlardan

tenglikni hosil qilamiz.Shuni ko`rsatish kerak edi.
Shunday qilib (10) chegaraviy masala va u(x) yechim yetarlicha silliq bo`lganda (2)- daslabki differensial masalani h bo`yicha ikkinchi tartibli approksimatsiya qiladi. Ayirmali sxemadan amaliy foydalanishda (4), (6)- integrallarni aniq integrallash shart emas. Hatoligi yoki yuqori bo`lgan kvadrato`r formulalar bilan hisoblangan koeffitsiyentlardan foydalanish yetarlidir.
Masalan tugun нуqтаsi kesmani o`rtasida joylashgan to`g`ri to`rtburchak formulasidan foydalanilganda koeffitsiyentlar

kabi aniqlanadilar.
Trapetsiya formulasidan foydalanilganda

bo`ladi.
Ayirmali sxema koeffitsiyentlarini (4), (6) integrallar yordamida ifodalanishi koeffitsiyentlar uzlukli bo`lgan holda sxemaning yaqinlashishini tadqiq etganda foydalidir.

3. 
   Hatolik tenglamasi;
   

(3), (4)- ayirmali sxema yechimi y_i = y(x_i) to`rning h qadamiga bog`liq, . Aslida biz h ga bog`liq bo`lgan yechimlar oilasiga egamiz.

Ayirmali masala yechimi , dastlabki masala yechimi ga intiladi deb aytishadi, agar hatolik , biror-bir normada nolga intilsa.
Bu yerda bunday norma sifatida to`r funksiyalari sinfida aniqlangan

usulni qabul qilamiz.
Agar h ga bog`liq bo`lmagan va konstantalar uchun, tengsizlik bajarilsa, unda ayirmali sxema m-tartibli aniqlikka ega deb aytiladi.
Yuqorida (3), (4)- sxema ikkinchi tartibli approksimatsiya tartibiga ega ekanligi ko`rsatilgan edi. Bu sxemaning yaqinlashishi ham ikkinchi tartibli ekanligini ko`rsatamiz.
Buning uchun eng avval hatolik tenglamasini yozamiz. ni (3), (4)- tenglamalarga qo`yamiz.
Unda
(11)
(12)
bu yerda

kabi belgilangan. (11)- dagi (1)- tenglamani (3) ayirmali tenglama bilan approksimatsiyalaganda (1)- tenglama yechimidagi approksimatsiya xatoligi deb aytiladi.
1-kismda ekanligi ko`rsatilgan edi, huddi shunday, ta’rifga asosan , (2)- chegaraviy shartni (4)- ayirmali chegaraviy shart bilan approksimatsiya qilinganda (1), (2)- masala yechimidagi approksimatsiya hatoligi bo`ladi, ekanligi ko`rsatilgan edi. Shunday qilib, (11), (12)- hatolik tenglamalarning tuzilishi (3), (4)- ayirmali sxemalar tuzilishiga o`hshaydi, ularning faqat o`ng tomonlari farq qiladilar.
Ayirmali sxema yaqinlashishini isbot qilish uchun (11), (12)- masala yechimini o`ng tomonlar orqali baholaymiz, ya’ni
(13)
tengsizlikni hosil qilishimiz kerak.
Bu tengsizlikdan ekanligi kelib chiqadi. (13)- tengsizlik aprior baholar deb aytiladi. Bunday baholar ayirmali sxemalar nazariyasida keng tarqalgan. (11), (12)- hatolik tenglamasining tuzilishi (3), (4)- ayirmali sxema tuzilishi bilan bir hil bo`lganligi uchun, ularning o`ng tomonlari farqli (13)- tengsizlikga o`hshash tengsizlik birdaniga (3), (4)- uchun ham bajariladi:

Ohirgi tengsizlik ayirmali sxema yechimining o`ng tomon va bo`yicha turg`un ekanligini ifodalaydi