Reja: Sonli ketma-ketliklar

6. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar

1-teorema. O`zgarmas miqdorning limiti shu o`zgarmasning o`ziga teng, ya`ni: .

Isboti:

.

.

bo`lganligi uchun yoki bo`ladi.

2-teorema. Limitga ega bo`lgan funktsiyalar yig`indisi (ayirmasi) shu funktsiyalar limitlarining yig`indisi (ayirmasi)ga teng, ya`ni:



Isboti: va bo`lsin. Limitning ta`rifiga asosan va lar cheksiz kichik miqdorlardir. Bulardan va .

Demak, ,

.

Ma`lumki, - cheksiz kichik miqdordir. Bundan esa va orasidagi ayirma cheksiz kichik miqdor bo`lganligi uchun



bo`ladi. U holda, va larni hisobga olsak,

ekanligi kelib chiqadi.

3-teorema. Limitga ega bo`lgan funktsiyalar ko`paytmasining limiti shu funktsiyalar limitlarining ko`paytmasiga teng:

.

Isbot: Teorema shartida asosan va funktsiyalar limitga ega, ya`ni va . Shuning uchun ham va deb yoza olamiz. Bu tengliklarni ko`paytiramiz:

.

Bundan . Tenglikning o`ng tomoni cheksiz kichik bo`lganligi uchun ularning limiti ga tengligi shubhasizdir. U holda, ayirma cheksiz kichik miqdor bo`lib, limiti nolga teng bo`ladi. Limitning ta`rifiga asosan esa

yoki .

Demak, teorema isbot bo`ldi.

3-teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

1- natija. O`zgarmas ko`paytuvchini limit belgisi oldiga chiqarish mumkin:

.