Режа: Текис узлуксизлик тушунчаси. Георг Кантор теоремаси. Текис узлуксизлик тушунчаси

2. Георг Кантор теоремаси. Ёпиқ оралиқда бундай ҳолнинг бўла олмаслиги қуйидаги теоремадан кўринади.
Кантор теоремаси. Агар функция ёпиқ оралиқда аниқланган ва узлуксиз бўлса, у ҳолда бу функция шу оралиқда текис узлуксиз ҳамдир.
Исботни тескарисидан олиб борамиз. Бирор аниқ сон учун текис узлуксизликнинг таърифида айтилган сон мавжуд эмас дейлик. Бундай ҳолда, қандай ни олмайлик, оралиқда шундай иккита ва топиладики, бўлишига қарамай, муносабат ўринли бўлади. Энди бўладиган мусбат сонларнинг кетма-кетлигини оламиз. Айтилганга асосан, ҳар бир учун да шундай ва қийматлар (улар ва ларнинг ролини ўйнайди) топиладики, тенгсизлик бажарилса ҳам, бўлади.
Больцано-Вейерштрасснинг леммасига асосан, чегараланган кетма-кетликдан оралиқдаги бирорта нуқтага яқинлашувчи қисм кетма-кетлик ажратиш мумкин. Белгилашларни мураккаблаштирмаслик учун кетма-кетликнинг ўзи га интилади деб ҳисоблаймиз.
Сўнгра (чунки дир) бўлганлигидан, бир пайтда кетма-кетлик ҳам га интилади. У вақтда нуқтада функция узлуксиз бўлгани учун

бўлиши керак; демак,

бу эса нинг ҳамма қийматларида

тенгсизлик бажарилади, деганга зиддир.
Теорема исботланди.
Исбот этилган теоремадан бевосита қуйидаги натижа келиб чиқади ва бу натижа бизга кейинроқ фойдали бўлади.
Натижа. функция ёпиқ оралиқда аниқланган ва узлуксиз бўлсин. У вақтда берилган бўйича шундай топиладики, агар оралиқни узунликлари дан кичик бўлакларга бўлсак, уларнинг ҳар бирида функциянинг тебраниши дан кичик бўлади.
Ҳақиқатан, агар берилган бўйича сифатида текис узлуксиз функциянинг таърифида айтилган сонни олсак, у ҳолда узунлиги дан кичик бўлган қисм оралиқда функциянинг ихтиёрий иккита қиймати орасидаги айирма абсолют қиймати бўйича дан кичик бўлади. Хусусий ҳолда, бу энг катта ва энг кичик қийматларга нисбатан ҳам тўғри бўлиб, эслатилган қисм оралиқда уларнинг айирмаси функциянинг тебранишини беради.

Мавзу бўйича саволлар ва топшириқлар:
1. Текис узлуксизлик деб нимага айтилади?.
2. Кантор теоремасини мустақил исботланг.