Reja: Tekislikda analitik geometriya predmeti va asosiy masalalari

Tekislikda to’g‘ri chiziq va uning turli tenglamalari.
Reja:

Tekislikda analitik geometriya predmeti va asosiy masalalari.

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi.

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi.

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning kesmalardagi tenglamasi.

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi.

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi.

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi.

Gеoеtrik obyеkt tenglamasi * Analitik gеomеtriya prеdmеti * Analitik gеomеtriyaning ikkita asosiy masalasi * Aylana tenglamasi * To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi * Burchak koeffitsiyentli tenglama * Kesmalardagi tenglama
* Normal tenglama * Kanonik tenglama * Parametrik tenglama.
.1. Tekislikda analitik geometriya predmeti va asosiy masalalari. Tekislikda Dеkart koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lsin. Bu holda tekislikdagi har bir M nuqta uning koordinatalari dеb ataladigan (x,y) sonlar juftligi bilan to‘liq aniqlanishi va M(x,y) kabi yozilishi oldin (III bob, §2) aytib o‘tilgan edi. Tekislikdagi har bir geometrik obyektni (chiziq, geometrik figura va boshqalar) nuqtalar to‘plami kabi qarash mumkin. Bunda M nuqta biror chiziqqa tegishli bo‘lishi uchun ma’lum bir shartni qanoatlantirishi kerak. Bu shart matematik ko‘rinishda M nuqtaning koordinatalari orqali biror
F(x,y)=0 (*)
tenglama bilan ifodalanadi deb hisoblaymiz.
1-TA‘RIF: Agar (*) tenglamani faqat tеkislikdagi biror L chiziqqa tegishli M(x,y) nuqtalarning koordinatalari qanoatlantirsa, u shu chiziq tеnglamasi dеb ataladi.
Agarda М0(х0,у0) nuqta uchun F(х0,у0) = 0 shart bajarilsa (tenglama qanoatlantirilsa), М0 nuqta shu tenglama bilan aniqlanadigan chiziqqa tegishli, aks holda esa tegishli bo‘lmaydi. Shunday qilib tekislikdagi chiziq o‘zining tenglamasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ammo har qanday tenglama ham biror chiziqni ifodalashi shart emas. Masalan, x2+ y4=0 tenglamani faqat bitta O(0,0) nuqta koordinatalari qanoatlantiradi va shu sababli bu tenglama chiziqni ifodalamaydi. Shuningdek, x2+y2+1=0 tenglamani tekislikdagi birorta ham nuqtaning koordinatalari qanoatlantirmaydi va u bo‘sh to‘plamni ifodalaydi.
2-TA‘RIF: Tekislikdagi chiziqlarni ularning tenglamalari orqali o‘rganuvchi matematik fan analitik gеomеtriya dеb ataladi.
Analitik gеomеtriya asoschisi bo‘lib farang matematigi va faylasufi Rеnе Dеkart hisoblanadi. U kiritgan koordinatalar sistemasi orqali geometrik tushuncha bo‘lgan M nuqta va algebraik tushuncha bo‘lgan sonlar juftligi (x,y) orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatildi. Bu bilan matematikaning ikkita bo‘limi bo‘lmish algebra va geometriya orasida bog‘lanish hosil etildi. Natijada tekislikdagi bir qator geometrik masalalarni algebraik va aksincha, bir qator algebraik masalalarni geometrik usullar bilan oson yechilishiga erishildi.
Tekislikdagi analitik gеomеtriyada asosan ikkita masala qaraladi:
Berilgan chiziqning tenglamasini topish va bu tenglama asosida uni analitik o‘rganish.
Berilgan tenglamaga mos keluvchi chiziqni aniqlash.
Fazoda to`g`ri chiziq va tekisliklarning turli tenglamalari. Tekislikda to`g`ri chiziqning turli tenglamalari. Aylana va sfera tenglamalari. Bajardi : _____________________
2 Tekislik va uning tenglamalari Fazoda ikki nuqta berilgan bolsin. Bu nuqtalardan bir xil masofada turgan nuqtalar toplami (nuqtalarning geometrik orni) tekislik deb qaraladi.
3 Tekislikning fazodagi ornini uning koordinatalar boshqacha bolgan masofasi p yani O nuqtadan unga otkazilgan OP perpendikulyarning uzunligi bilan, hamda O dan tekislik tomon yonalgan birlik vektor bilan aniqlash mumkin.
4 Buni (1) tenglikka qoyamiz. (3) bu tenglama tekislikning vektor shaklidagi normal tenglamasi deyiladi. r vektor tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning radus- vektori-ozgaruvchi radus - vektor, vektor esa birlik normal vektor deyiladi.
5 (3) tenglamani proeksiyalar bilan yozamiz. … vektor bilan Ox, Oy,Oz koordinata oqlari orasidagi burchaklarni mos tartibda,, bilan, M nuqtaning koordinatalari m,x,y,z bilan belgilaymiz yani,, bu holda (4) Bularni (3) tenglamaga qoyamiz: (5). Bu tenglama tekislikning koordinata shaklidagi normal tenglamasi deyiladi.
6 Tekislikning umumiy tenglamasi Mo(xo,yo,zo) nuqta Q tekislikka tegishli nuqta, esa Q tekislikka perpendikulyar bolgan nolmas vektor bolsin. Agar M(x,y,z) nuqta Q tekislikdagi Mo nuqtadan farqli ixtiyoriy nuqta bolsa, u holda vektor vektorga boladi, yani bu vektorning skalyar kopaytmasi nolga teng boladi:
7 (6) tekislikning vektor shaklidagi tenglamasini koordinata shaklidagi yozilsa, u holda 2-chizma A(X-X0)+B(Y-Y0)+C(Z-Z0) (7) tenglama hosil boladi. Mo(xo,yo,zo) nuqtadan otib vektorga perpendikulyar bolgan tekislik tenglamasi deyiladi. (7) tenglamani bunday korinishida ham yozish mumkin: Ax+By+Cz +D=0 (8) bunda D= – (Axo+ Byo+Czo).
8 Tekislikning umumiy tenglamasining xususiy hollalriga qarab chiqamiz: 1. D=0 bolsin, bu holda (8) tenglama Ax+By+Cz=0 (9) korinishni oladi. Bu (9) tenglama koordinatalar boshidan otgan tekislikni tasvirlaydi. 2. A=0 bolsin, bu holda (8) tenglama By+Cz+D=0 korinishni oladi. Bundan yani koordinatalar boshidan tekislikka otkazilgan perpendikulyar bilan absissalar oqi orasidagi burchak 900 ga tengligidan Ox oqiga parallel tekislikni tasvirlaydi.
3. B=0 bolsin, bu holda (8) tenglama Ax+Cz+D=0 (11) korinishini oladi. Bu tenglama bilan tasvirlangan tekislik Oy oqiga parallel boladi. (4-chizma) 4. C=0 bolsin, Bu holda (8) tenglama Ax+By+D=0 (12) korinishni oladi. Bu Oz oqqa parallel tekislikni tasvirlaydi. (5-chizma)
10 6. B=0 va D=0 bolsin. Bu holda (8) tenglama Ax+Cz=0 (14) korinishini oladi. Bu tenglama Oy oqidan otgan (7-chizma) tekislikni tasvirlaydi. 7. C=0 va D=0 bolsin. Bu holda (8) tenglama Ax+By=0 (15) ko'rinishni oladi. Bu tenglama Oz oqdan otgan tekislikni tasvirlaydi. (8-chizma)
11 Vektorlarning skalyar, vektor va aralash kopaytmasi.
12 Bu bolimda tekislikdagi va fazodagi vektorlarning skalyar kopaytmasi haqida uning geometriyadagi tadbiqlari haqida soz yuritamiz. Vektor kopaytmaning mexanik manosi. Ikki vektorning kollinearlik sharti. Uchta vektorning aralash kopaytmasi, uning xossasi, geometrik manosi. Uch vektorning komplanarlik sharti. Skalyar kopaytma va proeksiya Bu bolimda tekislikdagi va fazodagi vektorlarning skalyar kopaytmasi haqida uning geometriyadagi tadbiqlari haqida soz yuritamiz. Vektorlarning skalyar kopaytmasi. Bizga ikkita noldan farqli va vektorlar berilgan bolsin. Ularning boshi ustma- ust tushsin. Ikki vektor orasidagi burchak degandashartni qanoatlantiruvchi burchakni (1 chizmadagidek) tushunamiz.
berilgan b tekislikni M nuqtada kesib o‘tsin (2.a- rasm).
b va c to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lgani uchun ular
bitta tekislikda yotadi. Bu - g tekislik bo‘lsin.
b va g tekisliklar uchun M umumiy nuqta. Unda
S3 aksiomaga ko‘ra, bu tekisliklar bitta l to‘g‘ri chiziq
bo‘yicha kesishadi. Bu to‘g‘ri chiziq g tekislikda yotadi
va b to‘g‘ri chiziqnl M nuqtada kesib o‘tadi. Shuning
uchun, bu to‘g‘ri chiziq b to‘g‘ri chiziqqa parallel c to‘g‘ri
chiziqni ham N nuqtada kesib o‘tadi.
l to‘g‘ri chiziq b tekislikda ham yotgani uchun N
nuqta bu (3 tekislikka ham tegishli bo'ladi. Demak, N
nuqta b va g tekisliklar uchun umumiy nuqta.
Endi c to‘g‘ri chiziqning b tekislik bilan boshqa umumiy nuqtasi yo‘qligini
ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik, c to‘g‘ri chiziqning b tekislik bilan
yana boshqa K umumiy nuqtasi bor bo‘lsin. Unda S2 aksiomaga ko‘ra, c to‘g‘ri chiziq
b tekislikda yotadi. Unda, c to‘g‘ri chiziq b va g tekisliklar uchun umumiy bo‘ladi.
Lekin, l - bunday to‘g‘ri chiziq edi. Bundan c to‘g‘ri chiziqning l to‘g‘ri chiziq bilan
ustma-ust tushishi kelib chqadi. Buning esa bo lishi mumkin emas. Chunki b to‘g‘ri
chiziq c to‘g‘ri chiziqqa parallel va l to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tadi. Ziddiyat, farazimizning
noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. □
Planimetriyadan sizga ma'lumki, ikki to‘gri chiqizlarning har biri uchinchi to‘g‘ri
chiziqqa parallel bo‘lsa, ular o‘zaro parallel bo‘ladi. Bu xossa fazoda ham o‘rinli
bo lib, u to'gri chiqizlarning parallellik alomati deb yuritiladi.
c Teorema 3.3. Uchinchi to ‘g ‘r i chiziqqa parallel ikki to ‘g ri chiziq o‘zaro
paralleldir.
Isbot. Aytaylik, m va n to'g'ri chiziqlar p to'g'ri
chiziqqa parallel bo‘lsin. m va n to‘g‘ri chiziqlarning
bitta tekislikda yotishi va o‘zaro kesishmasligini, ya'ni
parallel ekanligini ko‘ratamiz.
m to‘g‘ri chiziqda A nuqtani olamiz va bu nuqta
va n to‘g‘ri chiziq orqali a tekislik o‘tkazamiz. m to‘g‘ri
chiziqning a tekislikda yotishini isbotlaymiz.
Aytaylik, bunday bo‘lmasin. m to‘g‘ri chiziq a tekislik
bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgani uchun, u tekislikni
kesib o‘tadi. Unda 3.2 teoremaga ko‘ra,bu tekislikni m to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan
p to‘g‘ri chiziq ham, p to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan n to‘g‘ri chiziq ham kesib o‘tadi.
Lekin, buning bo‘lishi mumkin emas, chunki n to‘g‘ri chiziq a tekislikda yotadi.
Demak, m va n to‘g‘ri chiziqlar a tekislikda yotadi.
Endi bu to‘gri chiziqlarning kesishmasligini isborlaymiz. Yana teskarisini faraz
qilamiz. m va n to‘g‘ri chiziqlar qandaydir B nuqtada kesishsin. Unda B nuqta orqalip
to‘g‘ri chiziqqa parallel ikikita m va n to‘g‘ri chiziqlar o‘tadi. Buning esa 3.1 teoremaga
ko‘ra bo‘lishi mumkin emas.q
Endi parallelepipedning quyidagi xossalarini isbotlaymiz.
©ossa 1. ABCDA1B1C1D1 parallelepipedda (4-rasm) asos diagonallari va
yon qirralardan tuzilgan ACC1A1 to ‘rtburchak parallelogrammdan iborat
bo‘ladi.
Haqiqatan, parallelepipedning ABB}A } va BCClBl yoqlari ta'rifiga ko‘ra,
parallelogrammdan iborat.
Bu parallelogrammlarning qarama-qarshi tomonlari
o‘zaro teng bo‘ladi. Xususan, AB = AlBl va BC = BlCl.
Parallelepiped ta'rifiga ko‘ra, AAl |1 BBl va BBl |1 CCl.
Unda 3.2 teoremaga ko‘ra, AAl |1 CCl va AAl = CCl bo‘ladi.
Demak, AClC Al to‘rtburchak - parallelogramm.
Xossa 2. ABCDA1B1C1D1 parallelepipedning (4-rasm)
qarama-qarshi yoqlari o‘zaro teng.
Yuqoridagi xossaga ko‘ra, AClC Al - parallelogramm va
AC = AlCl . Unda ABC va AlBlCl uchburchaklar uchta tomon
bo‘yicha teng bo‘lib, ABC va AlBlCl burchaklar ham o‘zaro
teng bo‘ladi. Natijada, ABCD va A1BlC1D 1 parallelogrammlar
ham o‘zaro teng bo‘ladi.
Boshqa qarama-qarshi yoqlarning tengligi ham shu tariqa
isbotlanadi.
Xossa 3. Parallelepipedning barcha diagonallari bitta
nuqtada kesishadi va bu nuqtada teng ikkiga bo‘linadi
(5-rasm).
1- xossaga ko‘ra, AClCAl parallelogramm. Unda bu
parallelogramm diagonallari AlC va ACl bitta nuqtada
kesishadi va keshshish nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi.
Qolgan diagonallarning kesishishi va bu nuqtada teng
ikkiga bo‘linishi shunga o‘xshash isbotlanadi.
Bitta to‘g‘ri chiziqda yoki parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi
kesmalar (nurlar) o‘zaro parallelkesmalar (nurlar) deb ataladi.
Masala. Uchlari bitta tekislikda yotmaydigan fazoviy
to‘rtburchak tomonlarining o‘rtalari parallelogrammning uchlari
bo‘lishini isbotlang.
Isbot: ABCD - fazoviy to‘rtburchak va Ap B , Cl va D l -
to‘rtburchak tomonlarining o‘rtalari bo‘lsin (6- rasm). U holda,
AlB l kesma - ABC uchburchakning AC tomoniga parallel o‘rta
chizig‘i, C1D 1 - ACD uchburchakning AC tomoniga parallel
o‘rta chizig‘i bo‘ladi.
3.3 teoremaga ko‘ra A,B} va ClD l to‘g‘ri chiziqlar parallel
bo'ladi. Demak, ular bir tekislikda yotadi. q
AlDl va BlCl to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi ham xuddi shunday isbotlanadi.
Shunday qilib, AlB lClD l to‘rtburchak bitta tekislikda yotadi va uning qarama-qarshi
tomonlari parallel. Demak, u parallelogrammdir.Q
Agar fazoda ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro kesishsa yoki o‘zaro parallel bo‘lsa, ular bitta
tekislikda yotadi (7.a va 7.b- rasm). Fazoda bitta tekislikda yotmaydigan to‘g‘ri chiziqlar
ayqash to‘g‘ri chiziqlar deb ataladi (7.c- rasm).
Ayqash to'g'ri chiziqlarni quyidagi alomatga ko'ra tanib olish mumkin:
c Teorema 3.4. Agar ikki to‘g‘ri chiziqlardan biri biror tekislikda yotsa, ikkinchisi
esa bu tekislikni birinchi to‘g ‘ri chiziqda yotmagan nuqtada kesib o‘tsa, и holda
bu to‘g ‘ri chiziqlar ayqash bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, p to'g'ri chiziq a tekislikda
yotsin. q to‘g‘ri chiziq esa bu tekislikni p to‘g‘ri
chiziqqaregishli bo‘lmagan A nuqtada kesib o‘tsin
(8 - rasm). p va q to‘g‘ri chiziqlarning ayqash
ekanligini isbotlatmiz.
Teskarisini faraz qilamiz: p va q to‘g‘ri chiziqlar
birorta b tekislikda yotsin. U holda b tekislikka
p to'g'ri chiziq va A nuqta tegishli bo'ladi. O'z
navbatida A nuqta q tekislikka ham tegishli. Demak, a va b tekisliklar ustma-ust
tushadi. Natigada, shartga ko‘ra a tekislikka tegishli bo‘lmagan q to‘g‘ri chiziq bu
tekislikka tegishli bo‘lib qoldi. Ziddiyat, farazimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadO
R Ikki to'g'ri chiziqning kesishishidan hosil
l b у bo'lgan qo'shni burchaklarning chiziq orasidagi burchak deyiladi.
Ayqash to‘gri chiziqlar orasidagi burchak deb,
bu to‘g‘ri chiziqlarga parallel bo‘lgan kesishuvchi
to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakka aytiladi (9-
rasm).
Amalda a va b ayqash to ‘g'ri chiziqlar
orasidagi burchakni topish uchun (1 0 - rasm)
1) biror A nuqta tanlanadi:
2) A nuqtadan ayqash to‘g‘ri chiziqlarga
parallel аг va bt to‘g‘ri chiziqlar o tkaziladi;
3) bu to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak
o‘lchanadi.
Bu algoritm natijasi - A nuqtaga bog'liq
emasligi haqida o'ylab ko'ring.
Orasidagi burchak 90° ga teng to'g'ri chiziqlar
perpendikular to'g'ri chiziqlar deb ataladi. Parallel to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak
0 0 ga deb hisoblanadi.
Agar to‘g‘ri chiziq bilan tekislik kesishmasa, to‘g ‘ri chiziq va tekislik parallel
deyiladi. To‘g‘ri chiziq bilan tekislikning paralleligi quyidagi alomat orqali aniqlanadi.
Teorema 3.5. Agar tekislikda yotmagan to ‘g ‘ri chiziq shi tekislikdagi biror
to ‘g ‘r i chiziqqa parallel bo‘lsa, bu to ‘g ‘ri chiziq tekislikning o‘ziga ham
parallel bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, a - tekislik, a - unda yotmagan
to‘g‘ri chiziq, a1 esa a tekislikda yotgan va a ga
parallel to‘g‘ri chiziq bo‘lsin.
a va a1 to‘g‘ri chiziqlar orqali a 1 tekislikni
o‘tkazamiz (1- rasm). Ravshanki, a va a 1 tekisliklar
at to‘g‘ri chiziq, bo‘yicha kesishadi.
Agar a to‘g‘ri chiziq a tekislikni kesib o‘tsa, u holda kesishish nuqtasi a1 to‘g‘ri
chiziqqa tegishli bo‘lar edi. Ammo buning iloji yo‘q, chunki a va a1 to‘g‘ri chiziqlar
o‘zaro parallel. Shunday qilib, a to‘g‘ri chiziq a tekislikni kesib o‘tma olmaydi.
Demak, a to‘g‘ri chiziq a tekislikka parallel. □
Masala. Agar tekislik ikki parallel to‘g‘ri chiziqdan birini kesib o‘tsa, ikkinchisini ham
kesib o‘tishini isbotlang.
Isbot. a va b - ikki parallel to‘g‘ri chiziq, a esa a
to‘gr'i chiziqni A nuqtada kesib o‘tuvchi tekislik bo‘lsin
(2 - rasm).
a va b to‘g‘ri chiziqlardan tekislik o‘tkazamiz. U a
tekislikni biror c to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesadi. c to‘g‘ri
chiziq a to‘g‘ri chiziqni A nuqtada kesib o‘tadi.
Demak unga parallel bo‘lgan b to‘g‘ri chiziqni ham
kesib o‘tadi. c to‘g‘ri chiziq a tekislikda yotgani uchun
a tekislik b to‘g‘ri chiziqni ham kesib o‘tadi.
©
Teorema 3.6. Agar b ir tekislik ikkinchi tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri
chiziqdan o'tsa, bu tekisliklarning kesishish to'g'ri chizig'i ham berilgan
to ‘g ‘ri chiziqqa parallel bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, a to‘g‘ri chiziq a - tekislikka
parallel va b tekislikda yotsin. b to‘g‘ri chiziq esa
a va b tekisliklarning kesishish chizig'i bo‘lsin (3-
rasm). U holda, a va b to‘g‘ri chiziqlar b tekislikda
yotadi va o'zaro kesishishmaydi. Aks holda, a
to‘g‘ri chiziq b tekislikni kesib o'tar edi.
Demak, a va b to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel.□
Tekisliklar fazoda o‘zaro parallel yoki kesishgan bo‘lishi mumkin. Kesishgan tekisliklar xususiy holda o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi.

Parallel tekisliklar. Bir tekislikda yotgan ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq ikkinchi tekislikda yotgan ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziqqa mos ravishda parallel bo‘lsa, tekisliklar ham o‘zaro parallel bo‘ladi. Shunga binoan,  tekislikda yotgan a va b kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar  tekislikda yotgan s va d kesishuvchi chiziqlarga (a‖c; b‖d) mos ravishda o‘zaro paralleldir. Demak,  va  tekisliklar ham o‘zaro paralleldir. 1.31-shaklda parallel tekisliklarning fazoviy tasviri va epyuri ko‘rsatilgan.

a) b)

1.31-shakl

Parallel to‘g‘ri chiziqlarning bir nomli proeksiyalari ham o‘zaro parallel bo‘ladi, shunga ko‘ra, a1||c1, a2||c2, shuningdek, b1||d1, b2||d2 (1.31,b-shakl).

Parallel tekisliklarning (1.32-shakl) bir nomli izlari va bosh chiziqlari ham o‘zaro parallel bo‘ladi.

O‘zaro perpendikulyar tekisliklar. Tekislikda yotgan yoki unga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziq ikkinchi tekislikka perpendikulyar bo‘lsa, tekisliklar o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi (1.33-shakl).

 tekislikka perpendikulyar AB to‘g‘ri chiziq orqali  tekislikka perpendikulyar bo‘lgan cheksiz , , ,… tekisliklarni o‘tkazish mumkin.

Masalan,  tekislikning  tekislikka perpendikulyarlik shartini quyidagicha ifodalash mumkin. a to‘g‘ri chiziq  tekislikka tegishli bo‘lsin. Agar  tekislik a to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa, u holda  tekisligi  tekisligiga perpendikulyar bo‘ladi.

a) b)

1.32-shakl

1.33-shakl 1.34-shakl

Misol: A nuqta orqali berilgan (П1,П2) tekislikka perpendikulyar bo‘lgan (П1, П2) tekislik o‘tkazilsin (1.34-shakl).

Yechish: 1) A nuqtadan (П1,П2) tekislikka perpendikulyar qilib a to‘g‘ri chiziqni o‘tkaziladi, ya’ni a1П1, a2П2.

2) a to‘g‘ri chiziqning gorizontal va frontal izlarini aniqlanadi.

3) Perpendikulyarning gorizontal N1 izidan  tekislikning gorizontal izini, perpendikulyarning frontal M2 izidan esa  tekislikning frontal П2 izini o‘tkaziladi. Shuni esdan chiqarmaslik kerakki, tekisliklarning bir nomli izlari bir-biriga perpendikulyar bo‘lishi shart emas.

Proeksiyalovchi tekislik bilan umumiy vaziyatdagi tekislikning kesishishi. Bu hol ikki tekislik kesishuvining xususiy holi hisoblanadi. Ularning kesishuv chizig‘ini topish ancha sodda bo‘ladi, chunki kesishuv chizig‘ining bitta proeksiyasi xususiy vaziyatdagi tekislikning izlari bilan ustma-ust tushgan bo‘ladi.

1.35,a-shaklda ABC uchburchak tekisligi bilan  frontal proeksiyalovchi tekisligini MN(M1N1, M2N2) kesishuv chizig‘ini topish ko‘rsatilgan, bu holatda MN kesishuv chizig‘ining M2N2 frontal proeksiyasi  tekisligining П2 frontal izida yotadi.

1.35,b-shaklda berilgan ikki kesishuvchi ABC va DEF uchburchak tekisliklaridan biri DEF gorizontal proeksiyalovchi tekislik bo‘lib, ularning MN kesishuv chizig‘ining M1N1 gorizontal proeksiyasi DEF tekislikning D1E1F1 gorizontal proeksiyasi bilan ustma-ust tushadi.

a) b)

1.35-shakl

To‘g‘ri chiziqni proeksiyalovchi tekislik bilan kesishishi. Proeksiyalovchi tekislikning xossasiga asosan tekislikda yotgan har qanday tekis geometrik shaklning bitta proeksiyasi to‘g‘ri chiziq ko‘rinishda tekislikning iziga proeksiyalanadi. Xuddi shunga asosan, umumiy vaziyatda joylashgan to‘g‘ri chiziqning proeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtasining proeksiyasi shu tekislikning iziga proeksiyalanadi.

1.36,a-shaklda AB to‘g‘ri chiziqni  tekislik bilan kesishish nuqtasi K va uning K1, K2 proeksiyalarini yasash ko‘rsatilgan. Umumiy vaziyatdagi AB to‘g‘ri chiziqning  proeksiyalovchi tekisligi bilan kesishish nuqtasini aniqlash uchun AB to‘g‘ri chiziqni  proeksiyalovchi tekislikning П1 gorizontal izi bilan kesishgan nuqtasi K1 ni aniqlab, so‘ng undan П1 iziga perpendikulyar qilib to‘g‘ri chiziqni ko‘taramiz, u AB bilan kesishib, K nuqtani aniqlaydi.

1.36,b-shaklda AB to‘g‘ri chiziqning  proeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtasi K ni aniqlash epyurda ko‘rsatilgan. Bunda AB to‘g‘ri chiziqning gorizontal proeksiyasi va tekislikning П1 gorizontal izi bilan kesishish nuqtasi K1 ni aniqlab, u bo‘yicha frontal proeksiyasi K2 topiladi. Bular K nuqtaning proeksiyalarini ifodalaydi.

a) b)

1.36 -shakl

To‘g‘ri chiziqni umumiy vaziyatda joylashgan tekislik bilan kesishuvi. To‘g‘ri chiziqni umumiy vaziyatda joylashgan tekislik bilan kesishuv nuqtasini aniqlash chizma geometriyaning pozitsion masalalarini yechishda muhim ahamiyatga ega. Masalan, to‘g‘ri chiziq bilan sirtlarni kesishishi, sirtlarning tekislik bilan kesishish chizig‘ini va sirtlarning o‘zaro kesishuv chizig‘ini yasashda tatbiq etiladi.

m to‘g‘ri chiziq bilan  tekislikning kesishish nuqtasini aniqlash tartibini ko‘rib chiqamiz (1.37-shakl):
berilgan m to‘g‘ri chiziq orqali yordamchi kesuvchi  tekislik o‘tkaziladi;

berilgan å tekislik bilan yordamchi F tekislikning MN kesishuv chizig‘i aniqlanadi;

aniqlangan MN chizig‘i bilan berilgan m to‘g‘ri chiziqning kesishgan joyida izlanayotgan K nuqta kelib chiqadi.

1.38-shaklda AB to‘g‘ri chiziq bilan izlari orqali berilgan  tekislikning kesishuv nuqtasi epyurda quyidagi qo‘shimcha yasashlar orqali aniqlangan. Buning uchun:

AB to‘g‘ri chiziq orqali frontal proeksiyalovchi (­П1, П2) tekislik o‘tkaziladi, epyurda F frontal proeksiyalovchi tekislikning П2 frontal izi AB to‘g‘ri chiziqning frontal A2B2 proeksiyasi bilan ustma-ust tushadi;

berilgan  tekislik bilan F frontal proeksiyalovchi tekislik MN(M1N1,M2N2) chizig‘i bo‘ylab kesishadi;

aniqlangan MN chiziqning M1N1 gorizontal proeksiyasi AB to‘g‘ri chiziqning A1B1 gorizontal proeksiyasi bilan kesishib K1 nuqtani hosil qiladi. Mos ravishda K2 nuqta ham aniqlanadi.

K nuqta berilgan AB to‘g‘ri chiziq bilan  tekislikning izlanayotgan kesishish nuqtasidir.

1.37-shakl 1.38-shakl

1.39-shakl

Misol: Berilgan m to‘g‘ri chiziq bilan ABC tekislikning kesishish nuqtasi va bu to‘g‘ri chiziqning ko‘rinar-ko‘rinmas qismlari aniqlansin (1.39-shakl).

Berilgan m(m1,m2) to‘g‘ri chiziq orqali gorizontal proeksiyalovchi  tekislikni o‘tkaziladi.

 tekislik bilan berilgan ABC tekislikning kesishish MN(M1M2,N1N2) chizig‘ini yasaladi. So‘ngra m(m1,m2) to‘g‘ri chiziq bilan MN to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtasi K(K1,K2) aniqlanadi.

m to‘g‘ri chiziqning ABC uchburchakka nisbatan ko‘ringan-ko‘rinmaganligini har qaysi proeksiyada alohida aniqlanadi.

m2 va A2C2 chiziqlarning kesishgan joyida 1222 konkurent nuqtalar belgilanadi. I raqamli ko‘rish nuri bo‘ylab gorizontal proeksiyada 1­1 va 21 konkurent nuqtalar aniqlanadi. Gorizontal proeksiyadan ko‘rinib turibdiki, I raqamli ko‘rish nuri oldin B1C1 chiziqqa tegishli 11 nuqtani, keyin m1 chiziqqa tegishli 21 nuqtani uchratadi. Demak, frontal proeksiyada m2 chiziqning K212 qismi ko‘rinmas bo‘ladi.

Xuddi shunday tartibda, II raqamli ko‘rish nuri bo‘ylab kuzatilganda, ko‘rish nuri oldin m2 chiziqqa tegishli 52 nuqtani, so‘ngra A2C2 chiziqqa tegishli N2 nuqtani uchratadi. Natijada, m1 chiziqning N1K1 qismi ko‘rinar, K1M1 qismi esa ko‘rinmas ekanligi aniqlanadi.

Tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziq. To‘g‘ri chiziq tekislikda yotgan istalgan ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa, u to‘g‘ri chiziq tekislikning o‘ziga ham perpendikulyar bo‘ladi.

To‘g‘ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo‘lsa, chizmada uning gorizontal proeksiyasi tekislik gorizontalining gorizontal proeksiyasiga perpendikulyar, frontal proeksiyasi esa tekislik frontalining frontal proeksiyasiga perpendikulyar bo‘ladi (1.40-shakl).

Bizga ma’lumki, tekislikning bosh chiziqlari tekislikning tegishli izlariga parallel bo‘ladi. Demak, tekislikka perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning proeksiyalari tekislikning bir nomli izlariga ham perpendikulyardir.

1.41-shaklda  tekislikka perpendikulyar AB to‘g‘ri chiziqning chizmasi berilgan. AB to‘g‘ri chiziq tekislikning bosh chiziqlariga perpendikulyar joylashgan. To‘g‘ri burchakning ortogonal proeksiyadagi xossalariga asosan, AB to‘g‘ri chiziq bilan  tekislikning gorizontali orasidagi to‘g‘ri burchakning gorizontal proeksiyasi to‘g‘ri burchakdan iborat.

1.40-shakl 1.41-shakl

Misol: A(A1,A2) nuqtadan izlari bilan berilgan (П1,П2) tekislikka tushirilgan perpendikulyarning xaqiqiy uzunligi aniqlansin.

1.42-shakl

Yechish (1.42-shakl): A nuqtadan (П1,П2) tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkaziladi. Perpendikulyar orqali yordamchi frontal proeksiyalovchi  tekislik o‘tkazib, u berilgan  tekisligini kesishgan chizig‘i MN aniqlanadi. MN to‘g‘ri chiziq perpendikulyarni K(K1,K2) nuqtada kesadi. A0K1 kesmaning uzunligi A nuqtadan  tekislikkacha bo‘lgan masofani ifodalaydi.

Umumiy vaziyatda joylashgan ikki tekislikning kesishish chizig‘ini yasash. Ikki tekislikning o‘zaro kesishuv chizig‘ini aniqlashda quyidagi ikki: umumiy usul - yordamchi kesuvchi tekisliklar usuli va to‘g‘ri chiziq orqali proeksiyalovchi tekislik o‘tkazish usullaridan foydalaniladi.

1.43-shakl berilgan epyurda umumiy vaziyatda joylashgan (ab) va (△ABC) tekisliklarning kesishuv chizig‘i umumiy usulda aniqlangan.

1.43-shakl

Bu ish quyidagi tartibda bajariladi:

berilgan ikki tekislikni kesuvchi gorizontal F tekisligi o‘tkaziladi;
chiziqlar b tekislikda yotadi. AC kesamning B
nuqtasidan A1C1 ga parallel bo'lgan A2C2 to'g'ri