Reja: Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi

4. FURYE QATORI
Davri 2 dan iborat bo`lgan f(x) funktsiya berilgan bo`lsin. Yig`indisi f(x) bo`lgan quyidagi yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni topish talab qilinsin:
(1)
Agar bu masalaning yechimi mavjud bo`lsa, bu yechim yagona bo`lib, (1) qatorning koeffisiyenti Eyler – Furye formulalari yordamida topiladi:
va (2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga f (x) funktsiya uchun Furye qatori deyiladi.


5. UZLUKSIZ FUNKTSIYa UChUN FURYE QATORI
f(x) funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va shu oraliqda ekstremumga ega bo`lmasin. U holda, f(x) funktsiya uchun Furye qatori oraliqning barcha nuqtalarida uzluksiz va x ning (- , ) oraliqdagi barcha qiymatlari uchun qator yig`indisi f(x) dan iborat bo`ladi.
Oraliqning chetki ikkala nuqtalarida yig`indi
,
ya`ni f (- ) va f (+ ) larning o`rta arifmetigiga teng bo`ladi.
Misol. f (x)= x funktsiya berilgan bo`lsin. Bu funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va ekstremumlarga ega bo`lmasin.
Yechilishi:
Funktsiyaning Furye qatordagi koeffisiyentlar nollardan iboratdir. Xakikatdan ham
(1)
Bundagi birinchi qo`shiluvchi x=-x* almashtirishdan so`ng ko`rinishga kelib, ikkinchi qo`shiluvchi bilan yig`indisi nolga teng bo`ladi, ya`ni: a_n=0 (bunda n=0,1,2,…). (2)
b_n koeffitsiyentlar bo`laklab integrallash yordamida topiladi:
(3)
yoki (4)
U holda, x uchun Furye qatori quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
5)
Teoremaga asosan oxirgi qator uzluksizdir. - < x < da uning yig`indisi quyidagiga teng bo`ladi:
(6)
x=± da yig`indi . Qatorning barcha hadlari nolga aylanadi.
da (6) formula Leybnits qatoridan iborat bo`ladi, ya`ni:
(7)