Reja: Umumiy o‘rta ta’lim matematika kursida tenglamalar yo‘nalishi mazmuni

2.1. Tenglamalarni teng kuchli o‘tish yo’li bilan yechish
Aytaylik, M — qandaydir sonlar to‘plami bo‘lsin.
Agar birinchi tenglamaning M to‘plamida yotuvchi barcha yechimlari ikkinchi tenglamaning xam yechimlari bulsa va ikkinchi tenglamaning M to‘plamda yotuvchi barcha yechimlari birinchi tenglamaning xam yechimi bo‘lsa, u xolla M to‘plamda bu ikki tenglama teng kuchli deyiladi.
M to‘plamda f(x)=g(x) va (x)=h(x) tenglamalar teng kuchliligi quyidagicha belgilanadi:


f(x)= g(x)o (x)= h(x)
Agar M — xaqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsa, «barcha xaqiqiy sonlar to‘plami» da jumlasi tushirib koldirilib, f(x)=g(x) (1) xamda {x) = h{x) (2) tenglamalar teng kuchli deyiladi. Bu xodda (1) va (2) tenglamalar teng kuchliligi ustiga to‘plam yozilmasdan u fakat <=> belgi bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi.
f(x)= g(x)o (x)= h(x)
Teng kuchli tenglamalar xossalari
I- buladi.

II.Agar xaqiqiy son bo‘lsa, bo‘ladi.

III. Agar M₁ dan olingan barcha x lar uchun h(x) = g(x) bo‘lsa,


bo‘ladi.

IV.Arap M₂ dan olingan barcha x lar uchun bo‘lsa, bo‘ladi.

V.a) n— natural son bulganda, f(x) = g(x) [f(x)]²"⁺¹ = [g(x)]²"^+l

b) n —natural son bulib M₃ dan olingan barcha x lar uchun f(x) 0 va

g(x) 0 bulsa bo‘ladi.

VI.Arap a —xakikiy (a>0 va ) son bulib, M₄ dan olingan barcha x lar uchun f(x)>0 va g(x)>0 bulsa bo‘ladi.

Bu shakl almashtirishlar ichida eng soddalari: tenglamaning xadlarini uning bir kismidan ikkinchi kismiga ishorasini karama — karshisiga uzgartirib o’tkazish xamda, tenglamaning ikkala kismini noldan farkli songa kupaytirish yoki bulishdir. Ikkala xolda xam teng kuchlilik saklanishi yakkol kurinib turgani uchun, bu almashtirishlarni kullaganda xar doim xosil bulgan tenglama berilgan tenglamaga teng kuchli bulishligi doimo ta’kidlanmaydi, balki «tenglamani kuyidagi kurinishda yozib olamiz» yoki «tenglama quyidagicha kurinishga keladi» kabi jumlalardan foydalaniladi. Yukorida aytilgandek, tenglamalarni shakl almashtirishda ularning teng kuchliligi kandaydir M to‘plamda saqlanadi. Shuning uchun berilgan tenglamani yechishni boshlashdan oldin tegishli shakl almashtirish qo‘llaniladigan to‘plamni aniqlash kerak bo‘ladi. Aynan shuning uchun xam kўp xollarda berilgan tenglamani yechishdan oldin uning aniqlanish soxasi topiladi va natijada uning ildizlarini o‘zida saqlovchi boshlang‘ich M — to‘plam aniqlanadi. Sungra M — to‘plam- ikki kismga:
a) tanlab olingan almashtirish tenglamal.arning teng kuchliligini saklaydigan M₁ — to‘plamga v a
b) tanlab olingan almashtirish tenglamalarning teng kuchliligini saqlamaydigan M₂ — to‘plamga ajratiladi.
M₁ to‘plamda almashtirishlar bajarilgandan so‘ng, berilgandan soddaroq tenglama xosil qilinadi. So‘ngra M₁ to‘plam va xosil kilingan tenglama bilan dastavval M to‘plam va berilgan tenglama ustida qanday ish amalga oshirilgan bo‘lsa o‘sha jarayon qaytariladi.
M₂ to‘plamda yuqorida tanlab olingan almashtirishni qo‘llash mumkin emas, shuning uchun M₂ to‘plamda o‘rinli bo‘ladigan va berilgan tenglamani soddalashtiradigan almashtirish aniqlanadi. So‘ngra M₂ to‘plamda xam M₁ to‘plamda qo‘llanilganga o‘xshash jarayon amalga oshiriladi. Bu almashtirishlar natijasida eng sodda tenglamalar xosil kilinadi.
M₁ va M₂ to’plamlarda topilgan yechimlar birlashtirilib, berilgan tenglamaning barcha yechimlari topiladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, tenglamaning aniklanish soxasini, xamda M₁ va M₂ soxalarini topish qiyin bo‘lgan ba’zi xollarda ularni qandaydir shartlar bilan ko‘rsatish maqsadga muvofiqdir.