Reja: Umumiy o‘rta ta’lim matematika kursida tenglamalar yo‘nalishi mazmuni

2.2.Tenglamalarni natijaga o‘tish yo’li bilan yechish
Agar r(x) = h(x) tenglama ildizlari orasida f{x)=g(x) tenglamaning barcha ildizlari saqlansa, r(x) = h(x) tenglama f(x) = g(x) tenglamaning natijasi deyiladi. Tenglamalarni natijaga o‘tib yechishda ildizlar yo‘qolmaydi, balki chet ildizlar paydo bo‘lishi mumkin. Demak, tenglamani yechish jarayonida natijaga o‘tishdan foydalanilgan bulsa, albatta topilgan ildizlar berilgan tenglamaning ildizi bo‘lishi yoki yo’qligini tekshirish zarurdir. Bunda tekshirish boskichi tenglamalarni natijaga utib yechishning asosiy, majburiy boskichlaridan biri bulib xisoblanadi va agar u amalga oshirilmagan bo’lsa tenglamani yechish tula bajarilmagan hisoblanadi va ko’p xollarda noto’g’ri javobga olib keladi.
Quyidagi xossalar va formulalarni qo‘llaganda: a)tenglamani maxrajdan qutkarishda;
b)tenglamani darajaga ko‘targanda;
v)tenglamani potensirlaganda;
berilgan tenglamadan natijaviy tenglamaga o’tish mumkin.
O‘qituvchi tenglamalarni natijaga o‘tish yo‘li bilan yechishda ko‘p xollarda yo‘l qo‘yiladigan xatolikga o‘quvchilar e’tiborini qaratishi lozim bo‘ladi: Ma’lumki, tenglamalarni natijaga o‘tish yo‘li bilan yechishda berilgan tenglama qadamba — qadam natijaviy tenglama bilan almashtirilib, sodda tenglama ko‘rinishiga keltirilib, ildizlari topiladi. So‘ngra topilgan ildizlar tenglamaning aniqlanish soxasiga tegishli ekanligi tekshirilib, aniqlanish soxasiga tegishli bo‘lmagan ildizlar tashlab yuborilib, qolganlari, ya’ni aniqlanish soxasiga tegishli bo‘lganlari javobda yoziladi. Xatolik xuddi mana shundadir, chunki bu xolda topilgan ildizlarni tenglamaning aniqlanish soxasiga tegishli ekanligini tekshirish bilan chegaralanib bo‘lmaydi. Yechimlar tenglamaning aniqlanish soxasiga tegishli bo‘lishi, lekin berilgan tenglamaning ildizlari bo‘lmasligi mumkin. O’qituvchi shuningdek o’quvchilar e’tiborini tenglamaning ikkala qismidan juft darajali ildiz chiqarish ildizlarni yo‘qolishiga olib kelishi mumkinligiga (chunki bu holda berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi torayishi mumkin) qaratishi muhimdir.
Misol: tenglamani tenglama bilan almashtirilsa, berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi torayishi xisobiga ildiz yo‘qotiladi. Haqiqatdan ham tenlamani aniqlash sohasi va to‘plamdan iborat bo‘lib, bu tenglama o‘zining aniqlanish sohasida ² – x – 6 = 9 tenglamaga teng kuchli bo‘lib, ikkita x₁ = 3 va x₂ ildizlarga ega bo‘ladi.
tenglamaning aniqlanish sohasi esa to‘plamdan iborat bo‘lib, aniqlanish sohasida ² – x – 6 = 9 tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. Oxirgi tenglama ikkita x₁ = 3 va x₂ ildizlarga ega bo‘ladi. lekin bu x₁ va x₂ ildizlardan sohaga faqat x₁ = 3 ildiz tegishli bo‘ladi.
Shuning uchun ham bunday shakl almashtirishlarni bajarish mumkin emas, chunki yo‘qotilgan ildizlarni tiklab bo‘lmaydi. Bu holda tenglamani yechish natijasida biz uning barcha ildizlarini topa olmaymiz va demak aslida biz tenglamani umuman yechmagan bo‘lamiz.
Tenglamaning ikkala qismini funksiyaga ko‘paytirish, shuningdek funksiyaga qisqartirish chet ildizlarni paydo bo‘lishiga ham, ildizlarni yo‘qolishiga ham olib kelishi mumkin.
Masalan: (x²+5x) tenglamani ikkala qismini ga qisqartirish natijasida x² + 5x = 6 tenglamani xosil qilamiz.
Bu tenglama ikkita x₁ =1 va x₂ = –6 ildizlarga ega bo‘ladi. Bunday «echish» natijasida x₂ = –6 chet ildiz paydo bo‘ladi (chunki berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi barcha lardan iborat), x₃ = 0 ildizi esa yo‘qotiladi.
Bu ko‘rinishdagi tenglamalarni yechishda uning barcha hadlarini bir qismga o‘tkazib, so‘ngra umumiy ko‘paytiruvchini qavsdan tashqariga chiqarib, hosil bo‘lgan tenglamalar birlashmasi yechilib, yechimlar birlashmasi berilgan tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Yuqoridagi (x²+5x) tenglamani quydagicha yechish mumkin. Aniqlanish sohasi barcha to‘plamdan iborat. berilgan tenglamani quydagicha yozib olamiz
(x²+5x) yoki (x²+5x - 6)
Ohirgi tenglama x² + 5x – 6 = 0 va tenglamani birlashmasiga teng kuchlidir. Birlashmaning birinchi tenglamasini yechib, ikkita x₁ =1 va x₂ = –6 ildizlarni hosil qilamiz. Bu ildizlardan sohaga faqat x₁ ildiz tegishli bo‘ladi. Demak, x₁ =1 ildiz berilgan tenglamaning ildizi bo‘ladi.
Birlashmaning ikkinchi tenglamasidan x = 0 ildizni topamiz. Bu ildiz ham sohaga tegishli bo‘lgani uchun berilgan tenglamaning ham ildizi bo‘ladi.