Reja: Vektor haqida tushuncha

Misol. A(1,2,3) V(2,4,5) bo’lsa, = vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.
Yechish. ={1;2;2} , | |=3 , cos=1/3 ; cos=2/3 ; cos=2/3.

7. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.

A(x1, y1, z1) N(x,y,z) B(x2, y2, z2) x=?; y= ?; z=?

= > .
vektorlarning kollinearlik shartidan
(x-x₁) +(y-y₁) +(z-z₁) = [(x₂-x) +(y₂-y) +(z₂-z) ]

xususiy holda =1 bo’lsa,


Tekislikda nol bo’lmagan ikkita va vektorlar berilgan bo’lsa, bu vektorlarni O nuqtaga ko’chirib ni hosil qilamiz, bu yerda . Hosil bo’lgan va nurlar orasida burchak va vektorlar orasidagi burchak deyiladi (24-chizma) va ko’rinishida belgilanadi.
Ixtiyoriy ikkita vektor uchun Orientatsiyalangan tekislikda yo’nalishga ega bo’lgan burchak tushunchasini kiritaylik.
Tekislikda va nol bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin, agar bu vektorlarni tartiblasak, ya’ni vektorni birinchi vektorni ikkinchi deb olsak , u holda va vektorlar orasidagi burchak yo’nalgan burchak deb aytiladi va ko’rinishida yoziladi.
Agar , vektorlar o’ng bazisni tashkil qilsa, u holda >0 bo’ladi, chap bazisni tashkil qilsa - bo’ladi.
Agar bo’lsa, =0, agar bo’lsa .
Shunday qilib, vektorlar uchun .
2 5-chizmada , vektorlar o’ng bazisni , vektorlar chap bazisni tashkil qiladi. =30⁰, =-90⁰ (25-chizma).
Vaholanki, =-
sin =-sin
cos =cos
4-masala. Ortogonal bazisga nisbatan vektorlar koordinatalari bilan berilgan . yo’nalishli burchakni toping.
Yechish Bu masalani yechish uchun cos va sin larni topish yetarlidir. (26-chizma)
U holda
Shunday qilib,

24^’-chizma

Bulardan qiymatlarini (5.6) ga qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz.

Affin koordinatalar sistemasini almashtirish.
Gometrik obrazlarni soddalashtirish uchun ko’pincha bir koordinatalar sistemasidan boshqa koordinatalar sistemasiga o’tishga to’g’ri keladi. Bu esa bir nuqtaning har xil sistemadagi koordinatalarini bog’lovchi formulalarni topish masalasini keltirib chiqaradi.
Tekislikda ikkita va ( ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (27-chizma).
Qulaylik uchun birinchisini eski, ikinchisini yangi affin koordinatalar sistemasi deb olamiz. Bundan tashqari, yangi koordinatalar sistemasining vaziyati eski koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan bo’lsin.
(14.1)
Ta’rifga ko’ra ushbuni yoza olamiz.
(14.2)
Bizning maqsadimiz N nuqtaning eski koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini, shu nuqtaning yangi koordinatalar sistemasidagi koordinatalari orqali ifodalashdir.
Vektorlarni qo’shishdagi uchburchak qoidasiga asosan
(26 - chizma).
Bundan, .
(14.2) dan foydalanib,
ga ega bo’lamiz. va vektorlar kollinear emasligidan foydalanib quyidagi
(14.3)
formulani yozamiz. (14.3) formulani affin koordinatalar sistemasini almashtirish formulasi deyiladi. Bu formulaning chap tomonining koeffitsientlaridan quyidagi
(14.4)
matritsani tuzaylik. C’ matritsa C matritsani transponirlash natijasida hosil qilingan bo’lib, (14.5)
chunki va vektorlar bazis vektorlar.
(14.3) ni hamma vaqt x’, y’ larga nisbatan yechish mumkin. Bu esa N nuqtaning yangi koordinatalar sistemasidagi x’, y’ koordinatalarini shu nuqtaning eski sistemasidagi x, у koordinatalari orqali ifodalash mumkinligini ko’rsatadi.
Quyidagi xususiy holni qaraymiz:
1. bundan , bo’ladi. Bu topilgan qiymatlarni (14.3) formulaga qo’yib (28-chizma)
(14.6)
koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish formulasiga ega bo’lamiz.

1. 
   bo’lib, bazis vektorlar turlicha bo’lsin (29-chizma), u holda bo’lib,
   

(14.7)
formulaga ega bo’lamiz. га системасидаги . ранспонирлаш натижасида тузилган матрица и дейилади.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.
Endi dekart koordinatalar sistemasini almashtirishga to’xtaymiz. Bir to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidan ikkinchi dekart koordinatalar sistemasiga o’tishda (14.3) formuladan foydalanamiz, lekin o’tish matritsasining ( ) elementlariga qo’shimcha shartlar qo’yiladi.
Tekislikda - eski - yangi dekart koordinatalar sistemasi bo’lsin.
(15.1)
bo’lsin, bu yerda ikki hol o’rinli bo’ladi.

1. 
   Eski va yangi koordinatalar sistemasi bir xil yo’nalishga ega (30-chizma).
   

(6.6) tenglikni navbat bilan va vektorlarga skalyar ko’paytirib quyidagilarga ega bo’lamiz.

topilgan qiymatlarni (14.3) ga qo’yib,
(15.2)
Yo’nalishlari bir xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. 
   Eski va yangi koordinatalar sistemasi turli yo’nalishga ega bo’lsin. (31-chizma).
   

Buni e’tiborga olib, (15.1 6.6) ni va vektorlarga navbati bilan ko’paytirsak, ushbuga ega bo’lamiz.
Topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib,
(15.3)
Yo’nalishlari har xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. 
   va (15.3) formulalarni bitta
   

(15.4)
formulaga birlashtirish mumkin, bu yerda , yo’nalishlar bir xil bo’lsa , agar har xil bo’lsa ga teng.
Agar (15.5) da x₀=y₀=0 bo’lsa , u holda
(15.5)
formulani dekart koordinatalar sistemasini O nuqta atrofida burish formulasi deyiladi.
1-misol. Ikkita va ( ) affin reperlar berilgan bo’lib, bunda bo’lsin. N nuqtaning eski reperga nisbatan koordinatalari x= 2, y=1 ekanligi ma’lumligini bilgan holda bu nuqtaning yangi reperga nisbatan x’, y’ koordinatalarini toping.
Yechish Berilgan: Bu qiymatlarni (6.4) ga qo’yib quyidagilarga ega bo’lamiz.

bu sistemani yechib
Yangi sistemada N nuqtaning koordinatalari
ari
ari
Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi
Tekislikda O nuqtaga qo’yilgan ikkita bazis vektorlar berilgan bo’lsin (16-chizma). Bu vektorlar orqali o’tuvchi va to’g’ri chiziqlarni olamiz ( ).
1 - Ta’rif. Musbat yo’nalishlari mos ravishda vektorlar bilan aniqlanuvchi va to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lgan sistema tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi deyiladi va 0, yoki
(0, ) ko’rinishda belgilanadi. 0 nuqta koordinatalar boshi vektorlarni koordinat vektorlar deyiladi; to’g’ri chiziqni Ox bilan belgilab absissalar o’qi, to’g’ri chiziqni esa Oy bilan belgilab ordinatalar o’qi deb ataladi.
Tekislikda (0, ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Shu tekislikda birorta N nuqtani olaylik (2- chizma ) vektorni N nuqtaning radius vektori deyiladi.
vektorni hamma vaqt bazis
vektorlari buyicha yoyib yozish mumkin:
(8.1 )
sonlar radius
vektorning koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi.
Radius vektorning koordinatalari N nuqtaning ham koordinatalari deyiladi va uni N( ) kabi belgilaymiz. Bunda soni N nuqtaning absissasi yoki birinchi koordinatasi, son esa N nuqtaning ordinatasi yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi.
Xullas, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilsa, istalgan N nuqtaga uning koordinatalari bo’lmish bir juft sonlar mos keladi, aksincha, ma’lum tartibda olingan sonlariga, koordinatalari shu sonlardan iborat bitta N nuqta mos keladi.
Haqiqatan, tekislikda (0, ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (17-chizma) absissalar o’qiga O nuqtadan boshlab vektorni, ordinatalar o’qiga esa vektorlarni qo’yib, N₁ va N₂ nuqtalardan Oy va Ox o’qlarga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz, ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan N nuqta bo’ladi, chunki
Shunday qilib, (0, ) ga nisbatan

Agar =0 bo’lsa
Agar =0 bo’lsa , ya’ni o’qida yotadi.


Shunday qilib, absissa o’qida yotgan nuqta koordinatalari ( , 0) va ordinata o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari (0, ) bo’ladi. Koordinatalar boshining koordinatalari O(0, 0) bo’ladi.
Koordinat o’qlari tekislikni to’rtta qismga ajratadi. Har bir qismni chorak deyiladi.