Relativity: The Special and General Theory

104
GENERAL THEORY OF RELATIVITY 
imagine a system of v-curves drawn on the surface. 
These satisfy the same conditions as the u-curves, 
they are provided with numbers in a correspond-
ing manner, and they may likewise be of arbitrary 
shape. It follows that a value of u and a value 
of v belong to every point on the surface of the 
table. We call these two numbers the co-or-
dinates of the surface of the table (Gaussian 
co-ordinates). For example, the point P in the 
diagram has the Gaussian co-ordinates u 
=
3
, 
v 
=
1
. Two neighbouring points P and P' on 
the surface then correspond to the co-ordinates 
P: 
P': 
u, v 
u 
+
du, v 
+
dv, 
where du and dv signify very small numbers. In 
a similar manner we may indicate the distance 
(line-interval) between P and P', as measured 
with a little rod, by means of the very small 
number ds. Then according to Gauss we have 
,
2
22
12
2
11
2
2
dv
g
dv
du
g
du
g
ds
+
+
=
where g
11
, g
12
, g
22
, are magnitudes which depend 
in a perfectly definite way on u and v. The 
magnitudes g
11
, g
12
and g
22
determine the behaviour 
of the rods relative to the u-curves and v-curves, 
and thus also relative to the surface of the table. 
For the case in which the points of the surface 
considered form a Euclidean continuum with 
reference to the measuring-rods, but only in this 
case, it is possible to draw the u-curves and 

---