Relativity: The Special and General Theory

106
GENERAL THEORY OF RELATIVITY 
where the magnitudes g
11
, etc., have values which 
vary with the position in the continuum. Only 
when the continuum is a Euclidean one is it 
possible to associate the co-ordinates x
1
. . x
4
with 
the points of the continuum so that we have 
simply 
2
4
2
3
2
2
2
1
2
dx
dx
dx
dx
ds
+
+
+
=
. 
In this case relations hold in the four-dimensional 
continuum which are analogous to those holding 
in our three-dimensional measurements.
However, the Gauss treatment for 
2
ds
which 
we have given above is not always possible. It 
is only possible when sufficiently small regions 
of the continuum under consideration may be 
regarded as Euclidean continua. For example, 
this obviously holds in the case of the marble slab 
of the table and local variation of temperature. 
The temperature is practically constant for a 
small part of the slab, and thus the geometrical 
behaviour of the rods is almost as it ought to be 
according to the rules of Euclidean geometry. 
Hence the imperfections of the construction of 
squares in the previous section do not show them-
selves clearly until this construction is extended 
over a considerable portion of the surface of the 
table.
We can sum this up as follows: Gauss invented 
a method for the mathematical treatment of 
continua in general, in which “size-relations” 

---

GAUSSIAN CO–ORDINATES
107
 
(“distances” between neighbouring points) are 
defined. To every point of a continuum are 
assigned as many numbers (Gaussian co-ordi-
nates) as the continuum has dimensions. This 
is done in such a way, that only one meaning can 
be attached to the assignment, and that numbers 
(Gaussian co-ordinates) which differ by an in-
definitely small amount are assigned to adjacent 
points. The Gaussian co-ordinate system is a 
logical generalisation of the Cartesian co-ordinate 
system. It is also applicable to non-Euclidean 
continua, but only when, with respect to the 
defined “size” or “distance,” small parts of 
the continuum under consideration behave more 
nearly like a Euclidean system, the smaller the