Решение. Чтобы проверить, является ли уравнение обобщенно-однородным, заменим в уравнении

Пример 2. Рассмотрим уравнение
Решение. Решение соответствующего однородного уравнения можно найти в виде многочлена . Далее, его общее решение находится по формуле (9.8): Решение неоднородного уравнения будем искатьв том же виде, но при этом считать, что . Учитывая, что старший коэффициент уравнения равен x, система (9.10) запишется следующим образом:
Решив эту систему, найдем , откуда ,
. Следовательно, общее решение исходного неоднородного
уравнения имеет вид (9.11):

Пример 3. Рассмотрим уравнение с известными
частными решениями


Решение. Поскольку известны два частных решения уравнения, их разность является решением соответствующего однородного уравнения. Тогда общее решение однородного уравнения найдем по формуле (9.8):
. Чтобы записать общее решение исходного неоднородного уравнения, нужно к этому решению прибавить любое частное решение,
например, :
§10. Линейные уравнения c постоянными коэффициентами
10.1. Линейное однородное уравнение c постоянными коэффициентами
Это уравнение является частным случаем уравнения (9.1), в котором коэффициенты , — действительные постоянные:
. (10.1)
Для этого уравнения задача построения ф.с.р. сводится к определению корней многочлена
(10.2)
в котором символ p означает операцию дифференцирования по x (то есть,
). Многочлен называется характеристическим многочленом
уравнения (10.1). Правило построения характеристического многочлена состоит в том, что в уравнении (10.1) нужно каждую производную , , заменить на , ( заменяется на ).
Пусть
есть совокупность всех корней с учетом кратностей (в этой последовательности каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность).
Рассмотрим следующие случаи.


1. Корни — вещественные и различные. Тогда ф.с.р. уравнения (10.1) составляют функции
Общее решение уравнения (10.1) запишется по формуле (9.3):
2. Все корни различны, но среди них есть комплексные.
Пусть — один из комплексных корней. Тогда сопряженное число α - iβ также является корнем характеристического уравнения (10.2), ибо
все коэффициенты этого уравнения вещественны. Этим двум корням соответствуют две функции
,
входящие в ф.с.р. уравнения (10.1). Поэтому в этом случае ф.с.р. строится
так: каждому вещественному корню p характеристического уравнения ставится в соответствие одна функция а каждой паре комплексносопряженных корней ставятся в соответствие две функции . Общее решение записывается по формуле (9.3).
3. Характеристическое уравнение имеет кратные корни (вещественные либо комплексные).
Пусть сначала p — вещественный корень кратности . Этому корню
соответствуют k функций, входящих в ф.с.р.:
, . . . ,
Если же характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней α ± iβ кратности k, то этим корням соответствуют функций, входящих в ф.с.р.:

Общее решение уравнения (9.1) записывается по формуле (9.3).
Отметим также, что все функции, входящие в ф.с.р., определены на всей
оси x. Поэтому любое решение уравнения (9.1) также определено для всех x.