Решение. Чтобы проверить, является ли уравнение обобщенно-однородным, заменим в уравнении

Пример 6. Рассмотрим уравнение .
Решение. Характеристический многочлен этого уравнения имеет вид
Его корни равны Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
Разобьем правую часть уравнения на четыре слагаемых: , где .
Правая часть уравнения имеет вид 1: здесь
Она подпадает под случай 1.2 при . Поэтому частное решение нужно
искать в виде (10.5):
Подставив это выражение в уравнение, получим равенство из
которого . Следовательно, .
Правая часть уравнения имеет вид 2 при ,
α = 1 и подпадает под случай 2.1. Следовательно, частное решение уравнения
с такой правой частью ищется по формуле (10.6):
.
Подставим эту функцию в уравнение и сократим полученное равенство на .
Тогда постоянная a должна быть вещественным корнем уравнения
. Такой корень только один: , поэтому .
Правая часть уравнения имеет вид 3: ,
и подпадает под случай 3.2 при . Поэтому частное
решение будем искать в виде (10.9):
Подставим это выражение в уравнение и приравняем в левой и правой частях
многочлены при cos x и sin x соответственно. Получим
следовательно,
Правая часть уравнения Ly = f4(x) имеет вид 4 при
и подпадает под случай 4.1. Поэтому, частное
решение уравнения с такой правой частью нужно искать в виде (10.10):
Подставим это выражение в уравнение, сократим на e-x и приравняем многочлены при cos x и sin x в обеих частях полученного тождества. Отсюда
найдем . Поэтому
Таким образом, по теореме о сложении решений, функция будет частным решением исходного уравнения, а его общее решение
дается формулой