Решение. Известно, что скорость распространения бактерий пропорциональна их количеству: численность популяции растет экспоненциально

Определим, при каком T меем .
,

период полураспада не зависит от начального количества вещества.
Пример 1.17. Уравнение движения материальной точки под действием силы, приложенной вдоль прямой, получается из второго закона Ньютона:

Пример 1.18. Скорость распространения бактерий.
Р е ш е н и е. Известно, что скорость распространения бактерий пропорциональна их количеству:





численность популяции растет экспоненциально.
Пример 1.19. Движение материальной точки под действием силы тяжести по вертикальной прямой.
Р е ш е н и е. Пусть известны скорость и положение точки в начальный момент времени, то есть выполняются условия и . В силу второго закона Ньютона имеем

,




Пример 1.20. Малые колебания математического маятника.
Р е ш е н и е. Шарик массы m закреплен на конце невесомой нерастяжимой нити. Отклонение нити от положения равновесия задаҷтся переменной . На шарик действует сила тяжести и сила натяжения нити. Закон движения в проекции на касательную:


Если колебания малые, то и уравнение принимает вид

Пример 1.21. Уравнение семейства окружностей.
Р е ш е н и е. Окружность с центром в точке радиуса задается уравнением

Трижды продифференцируем данное уравнение по считая функцией от



2 Существование и единственность решения задачи Коши. Продолжение решений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий, правой части и параметра.
2.1 Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши:
(2.1)
Теорема 2.1 ( Пикара (существования и единственности решения)). Пусть функция определена и непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица по y в прямоугольнике Тогда существует единственное решение задачи Коши (2.1), определенное на Uh(x0) = {x0 − h, x0 + h}, где h = min{a, b M }, M = maxΠ f(x, y); Доказательство. I. Существование. Запишем интегральное уравнение: