Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла 29

2. Содержание темы «Интегральное исчисление»
В результате изучения данной темы студент должен:
знать:

• 
  основы интегрального исчисления;
  

уметь:

• 
  решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.
  

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод замены переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления. Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла


Тема 1: Первообразная функция и неопределенный интеграл
План:
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
2. Свойства неопределенного интеграла
3. Формулы интегрирования
4. Интегрирование способом подстановки
5. Интегрирование по частям


1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Пусть у = F(х) имеет производную у' = ƒ(x), тогда ее дифференциал
dy = ƒ(x)dx.
Функция F(х) по отношению к ее дифференциалу ƒ(x)dx называется первообразной.
Определение: Первообразной функцией для выражения ƒ(x)dx называется функция F(x), дифференциал которой равен ƒ(x)dx.
Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Докажем это.
Пусть F(x) - первообразная для дифференциала ƒ(x)dx.
Тогда:
(F(х) + с)' = F(x)’ + с' = ƒ(х) + 0 = ƒ(х), где с = const.
Определение: Совокупность всех первообразных функций F(х) + с для дифференциала ƒ(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx.
Таким образом,
∫f(x)dx = F(x) + с,
где ƒ(x)dx называется подынтегральным выражением, а с- произвольной постоянной интегрирования. Например:
∫2хdx = х² + с,
так как
(х² + с)' = 2х.
Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.
Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию.