Решение задач повышенной сложности по позиционным системам счисления. 10 класс. Дополнительное обучение

Методическая разработка урока на тему
«Решение задач повышенной сложности по позиционным системам счисления. 10 класс. Дополнительное обучение»

Данная разработка предназначена для учащихся 10-х классов проходящих дополнительное обучение на элективных занятиях.

Наряду с традиционной технологией ведения урока, на занятиях используются также технологии группового и проблемного обучения.
На рассматриваемом уроке учащимся предлагается найти оптимальный способ решения сложных задач на тему «Позиционные системы счисления». Для решения поставленной проблемы, учитель предлагает использовать знания, полученные на уроках информатики, а также на уроках математики.

В начале урока учитель предлагает учащимся решить первую задачу: определить количество единиц в двоичной записи числа 2³⁶ +4⁵ – 16?

Решение этой задачи учащиеся находят довольно быстро, используя операции сложения и вычитания в двоичной системе счисления:
2³⁶ +4⁵ – 16 = 2³⁶ +2¹⁰ -2⁴
2³⁶ - это единица и 36 нулей и далее:
-10000000000
10000
_____________
11111100000
Ответ: 7 единиц

Учитель предлагает следующую задачу: определить количество единиц в двоичной записи числа 4 ²⁰¹⁵ +8 ⁴⁰⁵ – 2 ¹⁵⁰ - 122?

Учитывая, что в этой задаче две операции вычитания, идущие подряд друг за другом, решать ее таким же способом, как и первую, не целесообразно.
Поэтому учащимся предлагается использовать дополнительные знания из математики и информатики:

• 
  Число 2^N - это 1 и N нулей в двоичной записи числа
  
• 
  Число 2^N – 1 – это N единиц в двоичной записи числа
  
• 
  2^N – 2^K при K
• 
  2^N + 2^N = 2*2^N = 2^{N+1 ;}
  
• 
  2^N = 2^{N + 1} – 2^N ;
  
• 
  2^N = - 2^N+1 + 2^N
  

Вторую задачу предлагается решить с учетом этих формул:

Свободное число 122 = 128 – 6 = 2⁷ - 2² – 2¹

Располагаем все члены в порядке убывания степеней:
2 ⁴⁰³⁰ + 2 ¹²¹⁵ – 2 ¹⁵⁰ – 2 ⁷ + 2 ² + 2
Представляем все выражение в виде пар 2 ^N – 2 ^K при K- 2^N = - 2^N+1 + 2^N получаем:
2 ⁴⁰³⁰ + (2 ¹²¹⁵ – 2 ¹⁵¹ ) + (2 ¹⁵⁰ – 2 ⁷ )+ 2 ² + 2,
Тогда: 1+(1215-151)+(150-7)+1+1=1210
Ответ: 1210 единиц.

Далее учащимся предлагается самостоятельно решить третью задачу: определить количество значащих нулей в двоичной записи числа

4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250


Домашнее задание

1. 
   Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250
   
2. 
   Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6
   
3. 
   Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80
   
4. 
   Значение арифметического выражения 9⁸ + 3⁵ – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
   
5. 
   Значение арифметического выражения 9⁸ + 3⁵ – 2 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?