Respublikasi oliy ta’lim fan va innovatsiyalar vazirligi

teorema (Veyershtrassning birinchi

25-shakl

teoremasi). Agar
f (x)
funksiya
[a;b]
kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u bu

kesmada chegaralangan bo‘ladi.

27-shaklda keltirilgan
y  f (x)
funksiya
[a;b]
kesmada uzliuksiz. Bunda

x [a;b] uchun ^{m  f (x)  M} .

1. 
   Izoh. Teorema
   

[a;b]
kesma
(a;b)
interval bilan almashtirilganida o‘rinli

bo‘lmasligi mumkin. Masalan,
f (x)  ¹
x
funksiya
(0;1) intervalda uzluksiz, lekin

chegaralanmagan, chunki

lim ¹  .
x0 _x

26. 
    shakl
    
27. 
    shakl
    

9-teorema (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar
f (x)
funksiya
[a;b]

kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishadi.

27-shaklda keltirilgan
y  f (x)
funksiya
[a;b]
kesmada uzliuksiz. Bunda

u x₁
nuqtada o‘zining eng katta M qiymatini va x₂
nuqtada o‘zining eng kichik

m qiymatini qabul qiladi.

2-izoh. Bu teorema
(a;b)
interval uchun o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan,

f (x)  x
funksiya
(0;1)
intervalda uzluksiz, lekin o‘zining eng kichik va eng katta

qiymatlariga erishmaydi.

10-teorema (teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema). Agar

y  f (x)
funksiya [a;b]
kesmada uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘lib,
[c;d]
uning

qiymatlar sohasi bo‘lsa, u holda uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘ladi.
[c;d]
kesmada
y  (x)
teskari funksiya

3. 
   Funksiyaning uzilish nuqtalari
   

Agar
f (x) funksiya uchun
x₀ nuqtada funksiya uzluksizligi 1-ta’rifining

hech bo‘lmaganda bitta sharti bajarilmasa, funksiya
x₀ nuqtada uzilishga ega

deyiladi. Bunda
x₀ nuqta f (x) funksiyaning uzulish nuqtasi deb ataladi.

32-shaklda frafiklari bilan berilgan funksiylarni qaraymiz. Bu funksiyalarning

har biri uchun
x₀ - uzilish nuqtasi.

Birinchi holda (28,a-shakl) ta’rifning 1-sharti bajarilmaydi, chunki funksiya
x₀ nuqtada aniqlanmagan.

Ikkinchi holda (28,b-shakl) ta’rifning 2-sharti buzulgan, chunki

mavjud emas.

lim
x x₀
f (x)
limit

Uchinchi holda (28,c-shakl) ta’rifning 3-sharti bajarilmaydi, chunki

lim
xx₀
f (x)  A 
f (x₀ ).

y y


f (x₀ ) _.
A


^{O x}0 ^{x O x}0 ^x
a b ^c
28-shakl
Funksiyaning barcha uzulish nuqtalari birinchi va ikkinchi tur uzilish nuqtalariga bo‘linadi.

5-ta’rif. Agar
x₀ nuqtada
f (x)
funksiya chekli limitlarga ega, ya’ni

lim
xx₀ 0
f (x)  A₁ va
lim
xx₀ 0
f (x)  A₂
bo‘lsa,
x₀ nuqtaga
f (x)
funksiyaning birinchi tur

uzilish nuqtasi deyiladi. Bunda:

1. 
   A₁  A₂
   

bo‘lsa,
x₀ bartaraf qilinadigan uzilish nuqtasideb ataladi;

2. 
   A₁  A₂
   

bo‘lsa,
x₀ sakrash nuqtasi,
A₁  A₂
kattalik funksiyaning sakrasahi

deb ataladi.

Masalan:

_ 2x  1,


g(x)  _{4  2x,}


1  x  1, 1  x  3
funksiya uchun
x₀  1  sakrash nuqtasi,

bunda funksiyaning sakrashi |1 2 |1ga teng;

_ sin x _,

x  0,


(x)  ^
_
x
2, x  0
funksiya uchun
x₀  0 bartaraf qilinadigan uzilish

nuqtasi, bunda
_sin x _,

(x)  2 o‘rniga


x  0,
(x)  1deb olinsa uzilish bartaraf qilinadi, ya’ni


(x)  ^
_
x
1, x  0
uzluksiz funksiya hosil bo‘ladi.

6. 
   ta’rif. Agar
   

x₀ nuqtada
f (x)
funksiyaning bir tomonlama limitlaridan kamida

bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksizlikka teng bo‘lsa, funksiyaning ikkinchi tur uzilishi nuqtasi deyiladi.
x₀ nuqtaga
f (x)

Masalan,


Misollar
f (x)  ¹ funksiya uchun
x
x₀  0 
ikkinchi tur uzilish nuqtasi.

1. 
   f (x)  ^{| 2x  3 |} funksiya uzilish nuqtalarining turini aniqlaymiz. Funksiya
   

2x  3

sonlar o‘qining Bunda
x  ³
2
nuqtasidan boshqa nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz.

^ 1,


f (x)  ^
x  ³ ,
2
3

U holda

^ 1,

x  . 2

f ^{ 3}  0^  1, f ^{ 3}  0^  1.

   

2

2
   

Demak,
x  ³ sakrash nuqtasi va funksiyaning sakrashi

2
 1  (1)  2.

2. f (x) 
1  x³

1  x

funksiyalarni uzluksizlikka tekshiramiz. Bu funksiya

x  1

nuqtada aniqlanmagan, chunki

x  1o‘rniga qo‘yish bajarsak,
⁰ aniqmaslik kelib
0

chiqadi. Boshqa nuqtalarda kasrning surat va maxrajini
(1  x) ga bo‘lish mumkin,

chunki bu nuqtalarda
1  x  0 . Bunda funksiyaning
x  1
nuqtadagi chap va

o‘ng limitlari bir biriga teng bo‘ladi. Ularni topamiz:
1  x³

lim
x10
f (x) 
lim
x10
f (x) 
lim 
x10 _{1  x}

 lim
x10
(1  x)(1  x  x² ) 1  x

 lim

x10


(1  x  x²

)  1  1  1  3.

Demak,
x  1
nuqta
f (x)
funksiyaning bartaraf qilinadigan uzilish

nuqtasi. Agar
x  1 da
f (x)  3 deb olinsa bu uzilish bartaraf qilinadi.

3. g(x)  ^{| sin x |}
2x

funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz.

x  0

nuqtada

funksiya aniqlanmagan. Shu sababli
x  0
uzilish nuqtasi bo‘ladi.
g(x)

funksiyaning bu nuqtadagi bir tomonlama limitlarini hisoblaymiz:

lim g(x)  lim ^{| sin x |}  lim ^{sin x}   ¹ , lim g(x)  lim ^{| sin x |}  lim ^{sin x}  ¹ .

x0
x0 _2x
x0 _{ 2x
2} x0
x0 _2x
x0 _{2x 2}

Demak,
bu
x  0
nuqta
g(x)
funksiyaning sakrash nuqtasi. Funksiyaning

nuqtadagi sakrashi
  ¹  ^ ^{1 }  1 ga teng.

 

2
²  

_ x  1 _,
4. (x)  ^{ x}2 ^{ 1}
x  1,

funksiya

x  1

nuqtada aniqlanmagan.

x  1

1

^  ,
 2
x  1.

nuqtalarda funksiya uzilishga ega bo‘lishi mumkin. Bu nuqtalarni alohida qaraymiz.
x  1 nuqtada:

lim
(x) 

lim
x  1 _


lim
¹   ¹ ,

x10
x10 _x² _{ 1}
x10 _{x  1 2}

lim
(x) 

lim
x  1 _


lim
^{1   1 ,} (1)   ¹ .

x10
x10 _x² _{ 1}
x10 _{x  1 2 2}

Demak,
x  1 nuqtada funksiya uzluksiz.

x  1 nuqtada:
lim (x)  lim
x  1
 lim
²  ∓.

x1∓0
x1∓0 _x² _{ 1}
x1∓0 _{∓ 0}

Demak,
x  1 nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi

f (x)

funksiya

(a;b)

4.