Риманн дифференсиал тенгламалар системаси учун Коши масалани ечиш

Механикада, кўп ўзгаривчили фазода узилишнинг парчаланиши муаммоси ностационар тенгламаларнинг аналитик ечимларини қуриш учун қўйилади. Бундай тенгламалар муайян махсус ҳолатларда, масалан, идиал газ ёки саёз сув назариясида аниқ ечимга ега. Бироқ, кўпгина жисмоний вазифалар тизимнинг кўп фазали табиатини ҳисобга олишни талаб қилади. Шундай қилиб, гидро - ва газ динамикасида, шунингдек аеродинамикада ва бошқа амалий соҳаларда кўп фазали ҳодисаларни тасвирлаш учун Riemann типидаги мураккаб математик тенгламалар тизимларини ечиш талаб қилинади.
Ночизиқли тасодифий тўлқинлар назариясида бир қатор тушунчалар мавжуд бўлиб, улар бутунлай бошқа табиатдаги тўлқинларнинг хатти-ҳаракатларини таърифлаш ва тасодифий тўлқинларни ўзаро таъсир турига кўра гуруҳларга ажратиш имконини беради. Биринчиси, заиф ва кучли турбулентлик тушунчалари. Агар дисперсия кичик бўлса, турбулентлик тўлқиннинг турли гармоникаларининг кучли ўзаро таъсири билан аниқланади. Бу қаттиқ турбулентлик. Масалан, қовушқоқлиги паст бўлган турбулент суюқликда шундай бўлади.[1, 2].
Тўлқинларнинг ночизиқлигини, масалан, кучли турбулентлик билан тасвирлашнинг катта қийинлиги назариянинг кейинги ривожланиш йўлини – ночизиқ тасодифий тўлқинларнинг мураккаб тенгламаларини анча содда модел тенгламаларига алмаштиришни белгилаб берди [3]. Бюргерс тенгламаси бундай модель тенгламаларига мисол бўлиб, бу тизимнинг махсус ҳолати сифатида ифодаланиши мумкин.
(1)
Бу ерда, ва зичликлари ва бўлган системанинг тезликлари ва , тенглик ўринли. , ёпишқоқлик коеффициенти, ва константалар икки фазодаги суюқликларни ифодалайди.
Риманн системаси (1), (2) босимсиз икки тезликли гидродинамикадир.
Бу тенгламалар системаси (1), (2) қуйидаги таъсирларни ўз ичига олади: ночизиқли енергия дисперсияси, системадаги турли суюқликларни харакатини ва суюқликнинг ёпишкоклик коэффициентини.
Риманн дифференсиал тенгламалар системаси учун Коши масалани ечиш
Бюргерс тенгламасининг оғирлик кучи ( ), оралиқлардаги (1), (2) куринишдаги Риманн системасини кўриб чиқамиз. Бошланғич шартлар қуйидагилардан иборат.
, , . (3)
(1), (2) тенгламалар системасининг бўйлаб бир marta дифференсиалланувчи ва бўйлаб икки marta узлуксиз дифференсиалланувчи бўлган Коши масаласининг ечимларини қидирамиз .
(1) ва (2) системалар каррали тўлқиннинг бир ярим даврини тасвирловчи оддий ечимга ега:
(4)
Иккинчи ярим давр минтақа учун (4) ва (5) нинг давоми сифатида белгиланган-бошланғич тарзда .
(4), (5) ни (1), (2), қуйиб U(t), V(t) лар учун қуйидаги дифференсиал тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.
(6)
(6), (7) системани қуйидаги бошланғич шартлар билан куриб чикамиз.
(8)
(6) ва (7) тенгламаларни қуйидаги кўринишда ёзамиз.
(9)
(9) чи тенгламадан V ни топамиз.
, ва (10) га олиб бориб қўямиз.



Бундан кийин ни орқали белгилаш киритсак, у ҳолда қуйидаги куринишга ега булади.
(11)





Юқоридаги ўшбу тенгламалардан биз қуйидаги ечимни топамиз.


Ва ниҳоят, бу функсия қуйидаги шаклда бўлади.


Ва шу усул билан биз функциясини топамиз.


Шундан сўнг, функцияларни (4), (5) га олиб бориб Риманн типидаги системасинг умумий ечимини ҳосил қиламиз.


a)

b)

Расм 1. (Фронталь куриниш )
a) функция b) функция. Бу ерда
Шундай қилиб, Риманн типидаги тенгламалар тизими икки суюқ муҳит тенгламалари тизимининг алоҳида ҳолати сифатида олинади. Ушбу тизим Навье-Стокс тизимидан икки суюқ муҳит учун босим, қуйи тизимларнинг вискозитеси ва қобилияцизлиги шароитида фарқ қилади. Таклиф қилинган тенгламалар системасининг саёҳат тўлқинлари кўринишидаги ечими кўриб чиқилади. Ночизиқли тенгламалар системаси кўринишидаги уни ечиш формуласи олинади.
Бюргерс ва Риманн типидаги тенгламалар тизими олинади. Ушбу тизимлар икки суюқ муҳит моделининг тенгламалар тизимини соддалаштиришдир ва икки суюқ муҳит моделининг тенгламалар тизимидан босимнинг йўқлиги ва етишмаслиги шартлари билан фарқ қилади. Шунинг учун Бюргерс типидаги тизим учун муаммолар оиласи баъзан босимсиз икки тезликли гидродинамика деб аталади. Икки тезликли гидродинамикада юзага келадиган Риманн типидаги тенгламаларнинг бир ўлчовли тизими учун Коши муаммоси кўриб чиқилади.