Рта махсус таълим вазирлиги

§ 20. Regulyar yoy. Oshkormas tenglama. Oddiy
Ushbu:
va maxsus nuqtalar
F(x, y) = 0
(1)
chiziqning regulyar yoyi deb shunday nuqtalar toʼplamiga ayti- ladiki, ular biror Dekart sistemasida
y = f(x)
(a≤xb)
(2)
koʼrinishdagi tenglamani qanoatlaьtirib, f(x) funktsiya quyi- dagi uchta shartga boʼysunadi: 1) u bir qiymatli, 2) uzluksiz va 3) tegishli tartibli uzluk- siz hosilalarga ega.
(1) chiziqdagi nuqtaning yetarli darajada kichi atrofi regulyar yey boʼlsa, biz bunday nuqtani shu chiziqning oddiy nuqtasi deb ataymiz. Chiziq- ning oddiy boʼlmagan barcha puqtalari uning maxsus nuq- talari deyiladi. Shunday qi- lib, (1) chiziqning Mo (xo, Ua)
Mo
Mar
M
a
Xo
45-chizma.
oddiy nuqtasi atrofida (1) va (2) tenglamalar ekvivalentdir (45-chizma), chunki M,M, regulyar yoydir (uning hamma nuqta- larida uchala shart ham bajariladi). f(x) funktsiyaga nisba
-
tan qoʼyilgan shartlar M,M, yoyning silliqligini, har bir 

nuktasida muayyan urinma (chunki f (x) uzluksiz) borligini koʼrsatadi. Chizmada M, va Ma nuqtalar maxsus nuqtalar, chunki M, nuktada f(x) funktsiyaning bir qiymatliligi buziladi, M، da esa f'(x) mavjud emas (ikkita urinma bor!). Oxirgi ikki nuktani qanchalik kichik atrof bilan oʼrasak ham, regulyar yoy hosil boʼlmaydi.

(1) chiziqdagi nuqtaning oddiy boʼlishining yetarli sharti- ni ifodalash qiyin emas. Buning uchun analizda isbotlanadi- gan oshkormas funktsiyaning mavjudlik teoremasini eslab oʼtish kerak buladi.
Аgar Mo (xo, yo) nuqta (1) chiziqda yotib, F(x, y) funktsiya Mo nukta atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega va hosila shu nuqtada noldan farqli boʼlsa:
bu
u holda faqat bitta
df (xo yol du
+0,
y=f(x)
funktsiya mavjudki, u Mo nuktaning biror atrofida (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x da u = U qiymat- ni kabul kiladi. y = f(x) funktsiya shu atrofda uzluksiz hosilaga egadir:
OF
du
dy dx
dx
Аgar Mo nuqtada 0, lekin ≠0 boʼlsa ham teorema oʼz kuchini saqlaydi.
Boshqacha aytganda, F(x, y) ga nisbatan qoʼyilgan umumiy shartlardan (funktsiya va uning xususiy hosilalari uzluksiz) OF OF va
tashqari, Mo nuktada ax hosilalar birdaniga nolga ay-
OF 2 OF 2
dx
du
du
lanmasa, yaʼni і + 1 ≠0 bulsa, u holda yuqoridagi uchta shartni qanoatlantiradigan u = f (x) funktsiya mavjuddir. Аna shu teoremani tatbiq etsak, nuqtaning oddiy boʼlishi uchun yetarli shart kelib chiqadi.
Аgar (1) chiziqdagi biror Mo (xo, U.) nuqtada xususiy aylanmasa, Mo(x。, yo)
OF OF
Bil xosilalar birdaniga nolga
by
nukta albatta oddiy boʼladi.


Demak, (1) chiziqning maxsus nuqtalari mavjud boʼlsa, ularning x va u koordinatalari bir vaqtda quyidagi uchta tenglamani qanoatlantirishi kerak:

F(x, y) =0, x 0,
OF
du
=
0.
Mavjudlik teoremasidagi regulyarlik sharti bunday nuq- talarda buziladi.
Oddiy nuqtada urinma va normalning tenglamasini yozay- lik; bu 0 boʼlsa, urinmaning burchak koeffitsienti
OF
OF
dy
8%
dy
du
boʼlib, buni u — y = (x - xo) ga qoʼysak, urinmaning teng-
lamasi chiqadi:
(x --xo)
OF ox
+(y- yo)&= 0.
=
= 0,
≠ 0 da urinma OY oʼqqa paralleldir: x--xo=0. Nor-
dx
du
malning burchak koeffitsienti
dy
ga teng, shu sababli,
ox
normalning tenglamasi ushbu koʼrinishda yoziladi:
x-xo
y-ya
Ꮲ
bx
bu
Eslatma. Chiziq y = f (x) koʼrinishdagi tenglama bilan berilsa, uning hamma nuqtalari oddiy boʼlib, maxsus nuqtalar mavjud boʼlmaydi, chunki bu
holda
d
=
budu
- [y - f (x)) = 1 +0
boʼladi.
Misol. Dekart yaprogʼi berilgan: x3 + uz - Zaxu = 0.
3a 3a
Uning А 22 nuqtasidagi urinma va normalining tenglamalarini
Tuzing.
Jazob. Urinma: x + y - 3 = 0; normal: x - y=0 (bissektrisa).