Ряды Фурье Определение. Тригонометрическим рядом

1. 
   Ряды Фурье
   

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида

Действительные числа , называются коэффициентами ряда.
Если тригонометрический ряд сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом , так как функции и являются периодическими функциями с периодом .
Если – периодическая функция периода , непрерывная на отрезке или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты


существуют и называются коэффициентами Фурье для функции .
Определение. Рядом Фурье для функции называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье сходится к функции во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Теорема (Теорема Дирихле). Если функция имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях x , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва его сумма равна ,т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
Функция , для которой выполняются условия теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной на отрезке .
Теорема. Если функция имеет период , кроме того, и ее производная – непрерывные функции на отрезке или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях x, причем в точках непрерывности его сумма равна , а в точках разрыва она равна . Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно-гладкой на отрезке .

1. 
   Ряд Фурье для четных и нечетных функций
   

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
2) Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если – четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:



Таким образом, для четной функции ряд Фурье имеет вид
(1.1)
где
Ряд (1.1) называется рядом косинусов или разложением функции по косинусам кратных дуг.
Если – нечетная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то


и разложение в ряд Фурье для нечетной функции имеет вид
(1.2)
Ряд (1.2) называется рядом синусов или разложением функции по синусам кратных дуг.

2. 
   Ряды Фурье для функций произвольного периода
   

Ряд Фурье для функции периода , непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке , имеет вид
, (1,3)
где

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид
(1.4)
где
Для нечетной функции:
(1.5)

3. 
   Разложение в ряд Фурье непериодической функции
   

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция задана на отрезке и является на этом отрезке кусочно-монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию c периодом совпадающую с функцией на отрезке .
Таким образом, функция была дополнена. Теперь функция может быть разложена в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка совпадает с функцией , т.е. можно считать, что функция разложена в ряд Фурье на отрезке .

Рис. 1.1
Продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2T может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией на отрезке (рис. 1.1).

1.4. Примеры разложения функций в ряд Фурье
Пример 1. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке .
Решение. Заданная функция четная, поэтому ряд Фурье будет иметь вид (1.1) и коэффициенты будем искать по формулам






Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получаем

Составит алгоритм и программы



Пример 2.
Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке [– π; π]. Решение. Заданная функция является нечетной, следовательно, ряд Фурье будет иметь вид (1.2) и коэффициенты ищем в виде




так как .
В итоге получаем:

Составит алгоритм и программы

На отрезке [– π; π] разложить функцию в ряд Фурье