С. Л. Гольдштейн А. В. Кибардин информатика для физиков часть Введение Учебное пособие

5.7 Пример моделирования физической системы

Рассмотрим моделирование процессов переноса тепла на примере остывания нагретого тела. Природа переноса тепла от тела к окружающему пространству включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопроводности. В том случае, когда разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, скорость изменения температуры объекта можно считать пропорциональной этой разности температур. Это утверждение можно сформулировать на языке дифференциального уравнения
(5.30)
где T – температура тела; T_S- температура окружающей среды; r – коэффициент пропорциональности, зависящий от механизма теплопередачи, площади тела и тепловых свойств самого тела. Знак минус в правой части уравнения означает, что температура нагретого тела может только убывать, если T >T_S .
Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка. Типичным методом решения таких уравнений является метод Эйлера. Запишем уравнения дискретной модели:
t_i=t_i-1+t,
T_ш=T_i-1-r(T_i-1-T_S)t, i=1, 2...m. (5.31)
Составим алгоритм решения задачи. Зафиксируем алгоритм на языке блок-схем (рис.5.8).

Рис. 5.8.

Пояснения к блок-схеме
На блок-схеме буквой t обозначается переменная, относящаяся к времени, t0, tk – начальный и конечный моменты времени расчетов; dt1, dt2 – период расчетов (т.е. интервал времени, через который выдается текущее значение переменных) и параметр дискретизации соответственно; N – количество точек расчетов; M – количество итераций метода Эйлера; переменные Temp, Temp_0, Temp_S – это текущая температура, начальная температура и температура окружающей среды соответственно.


Задание

1. 
   Разработайте по данному алгоритму программу на каком-либо алгоритмическом языке.
   
2. 
   Проведите экспериментальное измерение температуры нагретого тела (например, жидкости, помещенной в сосуд) в разные моменты времени.
   
3. 
   Задавая различные значения коэффициента r в программе, подберите такое его значение, при котором ошибка расчета не превышает 10%.
   
4. 
   Сделайте расчет в промежуточных точках (т.е. в точках, в которых не измерялась температура) и сравните с экспериментальными значениями.
   

5. Варьируя параметр дискретизации (шаг сетки) t, исследуйте, как влияет его значение на точность расчетов.


Задания
1. Постройте математическую модель движения планеты вокруг звезды, разработайте программу и исследуйте в компьютерном эксперименте выполнение законов Кеплера.
2. Постройте математическую модель колебаний одномерного гармонического осциллятора (груз на пружине, движущийся в горизонтальной плоскости), разработайте программу и исследуйте в компьютерном эксперименте и исследуйте влияние силы трения и периодической гармонической вынуждающей силы на колебания системы.
3. Постройте модель движения пробного заряда в электростатическом поле, созданным двумя другими зарядами, разработайте программу и исследуйте в компьютерном эксперименте поведение системы.