Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Kuch momenti. Simmetrik tenzor.
Jismning qandaydir hajmiga ta’sirn etuvchi kuch momenti

^M ik
 _(F_i x_k

• 
  F_k x_i )dV
  

10. 
    -kuchlar qo’yilgan nuqtalar koordinatalari.
    

4. 
   ni e’tiborga olsak,
   

^M ik
_{ (}  _il


x_{l
x }  _kl

k
x_l
x_i )dV 


_ ( _il x_k   _kl x_i ) _{dV }
x_l
( _il
x_k
x_l
  ^xi )dV
kl _x

Ikkinchi haddan ko’rinadiki, agar koordinatalar bir xil bo’lsa, bir koordinataning ikkinchisidan olingan hosilasi birga teng bo’ladi, koordinatalar har xil bo’lsa, nolga teng bo’ladi. Ya’ni

^ _kl - birlik tenzor
dx_k dx_l
  _kl

_ 1,




_0,

k  l k  l

^ kl^ il
  _ik

^il^ kl ^{ } ki
Integral ostidagi birinchi hadda qandaydir tenzor divergensiyasi turibdi, Ostrogradskiy formulasiga ko’ra yuza integraliga aylantirish mumkin.


d ( _il x_k   _kl x_i )_dV
dx_l
 _( _il x_k
  _kl
x_i )df_l

4. 
   

^ ik
^{ } _ki - simmetrikdir.

Jism har tomonlama qisilgan holdagi kuchlanish tenzorini oson yozish mumkin. Jism yuza birligiga jism hajmi ichi yuzasiga normal yo’nalgan bir qiymatli bosim

ta’sir etadi. R –bosim,
d_i
yuza elementiga ta’sir etuvchi kuch –
nd_i
kuchlanish

tenzori orqali ifodalangan

Ikkinchi tomondan

• 
  pdf_i
  

  _ik df_k

bulardan

• pdf_i

  p_ik df_k

^ ik
  p_ik
i  k
bo’lsa,
 _ik   p

Bir jinsli deformasiyalar.
Agar deformasiya tenzori jismning butun hajmi bo’yicha o’zgarmas bo’lsa, bunday deformasiya bir jinsli deformasiya deyiladi. Masalan, jismning har tomonlama bir xil siqlishi bir jinsli deformasiyadir.
Endi sterjenning oddiy cho’zilishi (yoki siqilishini) ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, sterjen z o’qi bo’ylab joylashgan bo’lsin va uning uchlariga qarama- qarshi taraflarga cho’ziluvchi kuchlar qo’yilgan bo’lsin. Bu sterjen uchlari sirtlarida bir tekis harakat qilsin. Birlik yuzaga ta’sir etuvchi kuch ^r bo’lsin.

Deformasiya bir jinsli bo’lganligi, ya’ni
^uik
jism bo’yicha o’zgarmas bo’lganligi

uchun kuchlanish tenzorlari ham o’zgarmas bo’ladi. Demak, kuchlanish tenzorini

^ ik
chegaraviy shartlar yordamida aniqlash mumkin. Sterjenning yon tomonida

tashqi kuchlar ta’siri yo’q, demak,
p_i   _ik n_k
^{ 0} . Birlik vektor ⁿ yon sirtda z

o’qiga perpendikulyar, ya’ni u faqat ^nz
va ⁿ_y
komponentlariga yegadir. Demak,

^ ik ^,
 zz
komponentasidan tashqari barcha komponentlari nolga teng bo’ladi.

Sterjen uchlarining sirtida
^ zi ⁿi
^{ p} , demak ^ _zz ^{ p} .

^uik
 ¹ 
9K
ik^ ll
 ¹ ( _2 ik
 ¹  3
ik^ ll ⁾

Deformasiya va kuchlanish tenzorini bog’lovchi umumiy ifodadan ko’rinadiki,

^uik
(i  k )
barcha komponentlari nolga teng. Qolganlari uchun esa

^uxx
^{ u} yy
1  1
  
1 

  p,

1  1
u_zz  
1 ^

• 
   p
  

4. 
   

3 _ 2

3k _
3 _ 2k  _

^U zz
komponenta sterjenning z o’qi bo’ylab nisbiy uzayishini bildiradi. bu

P
ifodadagi ^r ning oldidagi koeffisiyent cho’zilish koeffisiyenti deyiladi, unga teskari bo’lgan kattalik esa cho’zilish moduli E - (yoki Yung moduli) deyiladi.

bu yerda
u_zz  _E

4. 
   

_{E } 9k
3K  

4. 
   (9)
   

^u xx
va ^u _yy
koponentlar sterjen ko’ndalang yo’nalishidagi nisbiy siqilishni

bildiradi. Ko’ndalang siqilishning bo’ylama cho’zilishga nisbati Puasson koeffisiyenti  deb ataladi.

Bu yerda

u_xx  u_zz

4. 
   

_{ } 1 3k  2

4. 
   

2 3k  
K va  har doim musbat bo’lgani uchun Puasson koeffisiyenti  turli
moddalarda ^{ 1 k  0} dan ^{1/ 2   0} largacha o’zgaradi. Demak,
^{1    1/ 2} (12)
Sterjenning cho’zilishi natijasidagi hajmning nisbiy siljishi

u  p ¹

(13)

bo’ladi.
ii _3k

Ozod energiya
Cho’zilgan sterjening ozod energiyasini yozamiz, <sup>


 0</sup> , demak

bu yerdan
F  ¹ 
2
zz ^u zz

p
2
^{F } _2E (14)
Keyingi nisbatlarda K va  lar o’rniga E va  lardan foydalanamiz.

(9) va (11) dan
  ^E , 2(1  )
K  ^E
3(1 2 )
. Ozod energiya uchun

(u
F  ^E
2(1  )
2 ^ 2
ik _{1 2} ll



u )
Kuchlanish tenzori va uning komponentalari.
Kuchlanish tenzori deformasiya tenzori orqali

ifodalanishi mumkin.
Aksincha:
^ ik
 ^E (u (1  ) ^ik
 ^ u  ) _{1 2} ll ik

(15)

u  ¹ [(1  )
   ]

ik _E
ik ll ik

Bu formuladan ko’p foydalanamiz, shuning uchun ularni komponentlar bo’yicha yozib chiqish kerak

^ xx
_ E
(1  )(1 2 )
[(1  )u_xx
  (u _yy

• 
  u_zz
  

)],

^ yy
_ E
(1  )(1 2 )
[(1  )u_yy
  (u_xx

• 
  u_zz
  

)],

^ zz
_ E
(1  )(1 2 )
[(1  )u_zz
  (u_xx

• 
  u_yy
  

)],

^ xy



_ E
(1  )
_ E
^uxy


u

xz
^ yz
(1  )
_ E
(1  )
xz
^u yz

Teskari ifodalar

u  ¹ [
  (
  )] _,

xx _E xx
yy zz

u  ¹ [
  (
  )] _,

yy _E yy
xx zz

u  ¹ [
  (
  )] _,

zz _E zz
xx yy

u  
1 
xy _E xy ^,
1  

u  
xz _E xz ^,
u  ^{1  } 
yz _E yz

Temperatura o’zgarishi bo’yicha bo’ladigan deformasiyalar.
Temperaturaning o’zgarishi deformasiyalanish jarayoni natijasida va chetdan bo’ladigan sabablar natijasida ro’y berishi mumkin.
Tashqi kuchlar bo’lmagan paytda qandaydir berilgan T₀ temperatura jism

holatini deformasiyalangan deb olamiz. Agar jism T₀
dan farqli T temperaturaga

ega bo’lsa, jismga tashqi kuch qo’yilmagan bo’lsa ham issiqlik kengayishi tufayli
deformasiyalangan bo’ladi. Shuning uchun F T  – ozod energiyaning
yig’ilmasida nafaqat kvadratik, hattoki deformasiya tenzorining chiziqli hadlari qantnashadi.
erkin energiya:

F (T )  F
(T )  k (T  T )u
 (u
 ¹ 

21. 
    )²  ^K u ²
    

(18)

0 0 ll
ik ₃
ik ll
₂ ll

, k ,  larni o’zgarmas deb olaylik. Ularni T dan bog’liq deb olsak, yuqori
tartibli ifodalarga kelar edik.
K – har tomonlama siqilish moduli,  - siljish moduli
 _F 

^ ik
 ^
_ u
^T
ik 

du_ll
^{ }ik ^duik

larni e’tiborga olsak,
^uik
bo’yicha F ni differensiallasak,

F (T )  Kd (T  T₀ )du_ll

• 
  2(u_ik
  

 ¹ 
₃ ik
^ull
)(du_ik
 ¹ 
₃ ik
du_ll
)  Ku_ll
du_ll 

 K (T  T₀ )_ik


du_ik

• 
  ^Kull^ik
  

du_ik

• 
  2(u_ik
  

 ¹ 
₃ ik


^ull

)(du_ik

 ¹  3
ik^ik
du_ik ) 

 ^ K (T  T )

• Ku 

 2(u
 ¹ 


u )^du

_ o ik
ll ik
ik ₃
ik ll _ ik

^ ik
 K (T  T_o )_ik

• 
  ^Kull^ik
  
• 
  2(u_ik
  

 ¹ 
₃ ik
^ull ⁾

(19)

Birinchi had jism temperaturasi bo’yicha bog’langan qo’shimcha kuchlanishlarni aniqlaydi. Jismning erkin issiqlik kengayishida (tashqi bo’lmagan

natijada) ichik kuchlanishlar bo’lmasligi kerak.  _ik  0
ga tenglashtirsak:

bu yerdan

• 
  K (T  T_o )_ik
  

• 
  Ku_ll_ik
  
• 
  2(u_ik
  

 ¹ 
₃ ik
^ull
)  0

2u_ik
 K (T  T_o )_ik

• 
  ^Kull^ik
  

 ² 
₃ ik
u_ll 

 [K (T  T_o )  Ku_ll
 ² u

1
₃ ll
]_ik

^uik
 _2 [K (T  T₀
)  Ku_ll
 ²  u
₃ ll
]_ik

_Demak, U _ik  const _,
Bu yerdagi ^U _ll ^{  T  T}₀ ^

Lekin
^U ll
– deformasiyadagi hajmning nisbiy o’zgarishini aniqlaydi.

Shuning uchun  -jismning issiqlik kengayish koeffisiyenti deyiladi.

Har xil deformasiya turlarini izotermik va adiabatik deformasiyalarga bo’lish mumkin. Izotermik deformasiyalarda jism temperaturasi o’zgarmaydi. Agar (18)

_da T  T₀
deb olsak, odatdagi formulaga kelamiz. K va  larni izotermik

modullar deb atasak bo’ladi.
Jism va jismni o’rab oluvchi muhit bilan, shuningdek jismning har xil uchastkalarida issiqlik almashinuvi sodir bo’lmaydigan deformasiyalarga adiabatik deformasiyalar deyiladi. S – entropiya bu xolda o’zgarmas bo’lib qoladi. Ma’lumki,
S   ^dF

dT

(18) ifodani differensiallasak, ^U _lk bo’yicha birinchi tartibgacha aniqlikda
S T   S₀ T   K ₀U _ll
entropiyani topgan bo’lamiz. S ni o’zgarmasga tenglashtirib,

deformasiyadagi
T  T₀
temperaturaning o’zgarishini
^U ll
ga proporsional tarzdagi

ifodasini aniqlash mumkin. Bu ifodani (19) ga qo’ysak,  _ik
uchun

^ ik
 K_ad U
ll ^ ik
 2^U


_ ik
 ¹  3
ik^U

ll ^


odatdagi ifodaga kelgan bo’lar edik. Bu yerda  bo’yicha siljish moduli, lekin boshqa siqilish moduli.
Adiabatik va izotermik modullar orasidagi bog’lanish
^K ad

1 _ 1

K_ad K
T ²


,

C_p
_ad  

(20)

Bu yerda ^Sr
bosim o’zgarmas bo’lganda issiqlik sig’im miqdori.

Adiabatik cho’zilish (Yung) moduli uchun quyidagi munosabatlarga kelamiz:
^Ead
va Puasson koeffisiyenti
^ ad

E_ad 


E
T <sup>2 ;


</sup>ad
  E



T ²


9C_{p ;}
T ²
(21)

1 E
9C_p
1 E

9C_p

Real holatda
ET ² / S
ifoda odatda kichik. Shuning uchun yetarli darajadagi

r
aniqlikda yozish mumkin


₂ T ²


T ²

^Ead
 E  E
;
9C_p
^ad
   (1  )E
9C_p
(22)

Izotermik deformasiya uchun kuchlanish tenzori:


 _F   _ 


^ ik
^{ } u

ik _T
^{ } u

ik  _S

^ - ichki energiya.

Bunga ko’ra adiabatik deformasiya uchun jismning hajm birligidagi ichki energiya (ozod energiya emas, oldin ko’rganimizdek)

  ^Kad u ²  (u
 ¹ u  )²
(23)

₂ ll
ik ₃ ll ik