Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

ma’ruza: EYLER TENGLAMALARI. EYLER BURCHAKLARI.



REJA

• 
  Eyler tenglamalari.
  
• 
  Eyler burchaklari.
  
• 
  Qattiq jismning harakat tenglamasi
  
• 
  Simmetrik pirildoq harakati.
  
• 
  Inersiya kuchlari.
  

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Eyler tenglamalari, Eyler burchaklari, qattiq jismning harakat tenglamasi, simmetrik pirildoq harakati, inersiya kuchlari.

Qattiq dism harakatini ifodalash uchun uning inersiya markaziga uchta

koordinatalar va
X ,Y , Z
qo’zg’almas sistemaga nisbatan qo’zg’aluvchi sistemaning

x₁, x₂ , x₃ o’qlarining burilishi Bilan bog’liq bo’lgan qandaydir uchta burchaklar
bilan foydalanish mumkin. Bu burchaklar sifatida Eyler burchaklari ishlatish ancha qulaydir.
Bizni hozir koordinatalar o’qlari orasidagi burchaklar qiziqtirgani uchun

ikala sistemaning koordinata boshini bita nuqtada deb olamiz.
x₁ , x₂
quzg’aluvchi

tekislik
X ,Y
quzg’almas tekislikni tugunlari.

Bu chiziq Z o’qiga nisbatan perpendikulyar bo’lganligi uchun x₃ o’qiga ham
perpendikulyardir, uning musbat yo’nalishini shunday tanlab olamizki, bu
yo’nalish ^→→  vektorli ko’paytimaning yo’nalishiga mos kelsin (bu yerda ^{→ →} - z

va x₃

Zx₃
o’qlari yo’nalishlardagi ortlari).
Z , x₃

X ,Y , Z
o’qlarga nsibatan
x₁, x₂ , x₃
o’qlarning vaziyatini aniqlovchi qiymatlar

sifatida quyidagi burchaklarni olamiz. Z va
x₃ o’qlari orasidagi  burchak, X va

13. 
    o’qlari orasidagi  burchak,  va  burchaklari gavdalanish yo’nalishiga mos
    

ravishda Z va
x₃ o’qlar atrofida parma qoidasi bo’yicha aniqlanadi.  burchak 0

dan  gacha,  va  burchaklar 0 dan 2 gacha qiymatlar qabul qiladi.

Burchak tezlik komponentalari.
^,^,^
burchak tezliklarining
x₁, x₂ , x₃

o’qlariga proyeksiyasini olaylik. Burchak tezlik ^ ON tugunlar chizig’i bo’yicha

yo’nalgan va uning
x₁, x₂ , x₃
o’qlari bilan tashkil etuvchilari:

^₁  ^ cos , ^₂  ^ sin , ^₃  0 . Burchak tezlik ^ Z o’qi bo’yicha yo’nalgan, uning


x₃ o’qiga proyeksiyasi

^3  ^ cos
ga teng.
x₁, x₂
proyeksiyasi esa
^ sin
ga teng. Oxirgi ifodani
x₁ va x₂

o’qlar bo’yicha yoysak:
Va nihoyat ^ burchak tezlik
^1  ^ sin sin
^2  ^ sin cos
x₃ o’qi bo’yicha yo’nalgan.

Bu tashkil etuvchilarni har bir o’qlar uchun olsak, nihoyat
₁  ^ sin sin  ^ cos
₂  ^ cos cos  ^ sin
(1)

  ^ cos ^
Simmetrik pildiroq uchun aylanishdagi kinetik energiya. Pildiroqning momenti.

Agar
x₁, x₂ , x₃
o’qlar qattiq jism inersiya bosh o’qlari orqali tanlangan bo’lsa,

Eyler burchaklar orqali aniqlangan aylanma kinetik enerniyani (1) ni
T  ¹ I ²  I ²  I ² 
ayl ₂ 1 1 2 21 3 3
formula quyidagi bilan topiladi.
Simmetrik pildiroq uchun I  I₂  I₃ , u holda
T  ^I1 ^{ 2} sin ²   ^2  ^I3 ^ cos  ² .
ayl _{2 2}
Qattiq jismning harakat tenglamasi
Keltirilgan harakat tenglamalari koorditanalari qo’zg’aluch sistema uchun yozilgan:
dP _va dM dt dt

hosilalar
^→ va ^→ vektorlarning anna shunday sistemaga nisbatan o’qsharishini

P M _→
aks ettiriladi. Vaholanki, qattiq jismning M aylanma moment komponentlari
orasidagi bog’lanishining eng sodda ko’rinishi o’qlari inersiya bosh o’qlari bo’ylab yo’naltirilgan qo’zg’aluvchi sistemada o’rinli bo’ladi. Ushbu bog’lanishda

foydalanish uchun dastavval harakat tenglamalari
koordinatalarga moslab olish kerak.
x₁ , x₂ x₃
qo’zg’aluvchan

Faraz qilaylik,
→
dA _,

A

A
dt
^→ vektorning qo’zg’almas sistemaga nisbatan o’zgarish

tezligi bo’lsin. Agar
^→ vektor aylanma sistemaga nisbatan o’zgarmas bo’lsa, u

holda qo’zg’almas sistemaga nisbanat kuzatilayotgan o’zgarishi faqatgina

aylanishga bog’liq bo’ladi va
→  ^{→ →}

dA _A
dt
Bunday tenglama istalgan vektor uchun o’rinlidir. Umumiy holda bu
tenglamaning o’ng tomoniga ^→ vektorning qo’zg’aluvchan sistemaga nisbatan

A
o’zgarishi tezligini qo’shish kerak. Bu tezlikni
→
d ' A
deb belgilasak, u holda

_{→ →} dt

A
dA _ d ' A _{ }^{→ →}_
(2)

dt dt

→
Ushbu umumiy formula yordamida qattiq jismning harakat tenglamalarini

→ dP _ dt
Quyidagicha aks ettirish mumkin:
^→ va

F
→
dM ^→


K
dt

P

F
^{d ' P}  ^{→ →} ^→
dt
→

(3)

M

K
d ' M _{ }^→
dt
→ _ →

Bunda vaqt bo’yicha hosila koorditalarning qo’zg’aluvchi sistemasida oliganligi uchun tenglamalarni o’qlarga bo’lgan proyeksiyalari bo’yicha yozib chiqish mumkin:
 ^→  ^→  ^→  ^→

_ d ' P _
 ^dP1 ,...
_ d ' M _
 ^dM1 ,...

_ dt _1 dt _ dt _1 dt

Bu yerda 1,2,3 indekslar
x₁ , x₂ , x₃
o’qlar bo’yicha komponetalarini bildiradi.

→ →
Eyler_tenglamalari'>Eyler tenglamalari
O’qlar bo’yicha yozish paytida birinchi tenglamada P o’rniga V

ni olamiz:

^{ dV1}   V

  V
^  F


^ dt
2 3 3 2 ^ 1


^{ dV2}   V

  V
^  F
(4)


^ dt
3 1 1 3 ^ 2


^{ dV3}   V   V ^  F


_ dt
1 2 2 1 ^ 3


Agar
x₁ , x₂ , x₃
o’qlar inersiya bosh o’qlari bo’yicha tanlangan deb hisoblasak, (3)

ning ikkinchi tenglamalariga tenglamalarni hosil qilamiz:
M ₁  I₁₁
va hokazo bo’ladi va qo’yidagi

I ^d1  I
¹ dt ³

• 
  I ₂
  

₂₃
 K₁

I ^{d 2}  I
² dt ¹

• 
  I₃
  

₃₁
 K ₂

I ^d3  I
³ dt ²

• 
  I₁
  

₁₂
 K₃

Bu tenglamalar Eyler tenglamalari deb ataladi.

Erkin aylanish paytida keltirish mumkin:
K  0 , demak, bu tenglamalarni quyidagi ko’rishiga

I ^d1  I
¹ dt ³

• 
  I ₂
  

₂₃  0

I ^d2  I
 I    0

² dt ¹
I ^d3  I
³ dt ²
3 3 1
 I₁ ₁₂  0

Nazorat savollari

1. 
   Eyler tenglamalarini yozing
   
2. 
   Eyler burchaklari ayting
   
3. 
   Qattiq jismning harakat tenglamasi yozing
   
4. 
   Simmetrik pirildoq harakati qanday bo’ladi ?
   
5. 
   Inersiya kuchlari nima ?
   

21. 
    ma’ruza: TUTASH MUHITLAR MEXANIKASI TUSHUNCHASI.
    

REJA:

• 
  Tutash muhit - ko’p zarrali sistemaning modeli sifatida.
  
• 
  Deformasiya tenzori
  
• 
  Hajm o’zgarishiga nisbatan deformasiya tenzorining komponentalari.
  
• 
  Kuchlanish tenzori.
  
• 
  Kuch momenti
  
• 
  Simmetrik tenzor.
  
• 
  Bir jinsli deformasiya.
  
• 
  Ozod energiya.
  
• 
  Kuchlanish tenzori va uning komponentalari.
  

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: muhit, qattiq jism, elastik, nazariya, kuch, deformasiya, sistema, koordinata, komponentlar, radius-vektor, masofa , hajm, tenzor

Tutash muhit kabi qarab chiqiluvchi qattik jismlar mexanikasi elastiklik nazariyasi deb ataluvchi nazariyaning mazmun-mohiyatini tashkil etadi.

Tashqi kuchlar ta’siri ostida qattiq jismlar u yoki bu darajada deformasiyalanadi, ya’ni o’zining shakli va hajmini o’zgartiradi. Qattiq jismning har bir nuqtasi qandaydir koordinata sistemasida ^r radius-vektor

(x₁  x,
x₂  y,
x₃  z)
komponentlari bilan aniqlanadi. Jism

deformasiyalanganda uning har bir nuqtasi, umuman olganda bir-biriga siljiydi. Jismning qandaydir bir nuqtasini qarab chiqaylik. Deformasiyalanishdan oldingi
uning radius-vektori ^r , deformasiyala-nishdan keyingi komponentlari ^x'_i bo’lgan
^r→ radius-vektorga ega bo’lsin. Deformasiyalanish natijasida jism nuqtalarining
siljishi vektor ko’rinishida
^{r→  r} yoki ^u_i ^{ x'}₁ ^x_i

ifodalanadi.
^u_i - vektori deformasiya (yoki siljish vektori) vektori deyiladi.

Siljigan nuqtalarning koordinatasi
x'_i
siljishgacha bo’lgan nuqtalarning yoki

^x_i kordinatalrning funksiyasi bo’ladi. Demak, deformasiya vektori ^u_i ham ^x_i
koordinatalarning funksiyasidan iborat bo’ladi.
Jism deformasiyalanganda uning nuqtalari orasidagi masofa o’zgaradi. Ikkita cheksiz yaqin nuqtalar orasidagi radius-vektor Deformasiyalangunga qadar

d `x₁
bo’lsa, deformasiyalangan jismda bu ikki nuqtalar orasidagi radius-vektor
dx'_i  dx_i  du_i

Deformasiyalangunga qadar bu ikki nuqtalar orasidagi masofa
dl  ₍₁₎
Deformasiyalangandan keyin
dl'
Summalar yozilishining umumiy qotdasiga ko’ra

i
dl ²  dx²
dl'²  dx'²  (dx

• 
  du )²
  

U holda


du_i
i
_ u_i
x_k
i i


dx_k

dl'²  (dx

• 
  ^ui dx
  

)²  dl ²  2 ^ui dx dx

• 
  u_i
  

^ui dx dx

i

k
x_k
x_k
x_k
x_i

i k

k l
O’ng tomondagi ikkinchi hadda summa ^I va ^k indekslar bo’yicha olinganligi uchun

deb yozish mumkin.
u_i
x_k
dx_i dx_k
 u_k
x_i
dx_i dx_k

Uchinchi haddagi ⁱ va ^l indekslar o’rni almashtirilsa, u holda

i k
dl'²  dl ²  ^ui dx dx

• 
  ^uk dx dx
  

• 
  u_l
  

^ul dx dx

x_k
x_i
x_k
x_i
(2)

i k

k l
 dl ²  2u
dx dx

^uik
tenzor
ik i k
1 ^ ^u_i

u_k

u_l

u_l ^

i

i
^uik
 ^
2 _ x_k
^ x
^ x

x_{k }
(3)

Bu ifodalar jism deformasiyalanganda uzunlik elementining o’zgarishini aniqlaydi.

^uik
tenzor deformasiya tenzori deyiladi. Uning ta’rifidan ma’lumki, deformasiya

tenzori simmetrikdir, ya’ni


^uik
 u_ki