Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Markaziy maydondagi harakat. Markaziy kuch maydoni
Zarra potensial energiyasi bu zarraga ta’sir etuvchi biror kuch markazi joylashgan nuqtagacha bulgan r masofaning radiusi bo’lganda bunday kuch yaratgan maydonni markaziy kuch deb yttgan edik. Bunday kuch
^→ _{ } U (r^→) _{ } U _ r<sup>→


F</sup>  r^→  r^→ r
Ko’rinishida yoziladi va absolyut jihatdan faqat r buladi,har bir nuo’tada radius- vektor r^→ bo’yicha yo’naladi. Bunday maydon Lagranj funksiyasi
mv ²
L   U (r ) 2
Vaqtda oshkor bog’liq bulmaydi hamda sferik simmetriyaga ega bo’ladi. Shuning uchun energiya saqlanuvchan,

E

U
_ mv ² _
2
r  
const
(11)

bo’ladi. Xudi shuningdek, berilgan holda maydon markaziga nisbatan impuls
momenti ham saqlanadi. Bita zarra uchun

M
^→  r^→ p^→   const
(12)

bo’ladi va
^→ → → → → → → →

M r  r pr  pr r   0
(13)

Xulosa 1. Markaziy kuch maydonining bir tekislikda sodir bo’lishi. Effektiv potensial energiya. Markaziy maydonda harakat bir tekislikda sodir bo’ladi. Harakat tekisligini xy tekisligi deb olsak, impuls momenti z o’qi bo’ylab
yo’naladi:
→
M  M _z  M ₀

Bu yerda M ₀
yo’li bilan
impuls momentining doimiy qiymati. Qutb koordinatalari kiritish

0
M  mr ²^
(14)

^  ^d
dt
_ M ₀
mr ²
(15)

Qutb koordinatalarida Lagranj funksiyasi va energiya ko’rinishlari quyidagicha bo’ladi:

(16) ga ^ ni (15)dan qo’ysak

L  ^m r ²  r ²^{ 2}  U (r) 2




E  ^m r ²  r ²^{ 2}  U (r) 2
(16)

E
_ mr^{ 2} _
2
_M 2
2

M
0
2mr ²
 U (r )
(17)

Bu yerda
0
2mr ²
markazdan qochma energiya deyiladi. Agar
_M 2

belgilash kiritsak,

^U eff
(r)  U (r)  ⁰
2mr ²
(18)

E
_ mr^{ 2} _
2
U _eff (r)
(19)

Xulosa 2. Markaziy kuch maydonida finitli va infinitli xarakat uchun trayektoriya tenglamasi. Markaziy maydonda harakat «effektiv» potensial energiyalik bir o’lchamli harakatga keltiradi.
Endi zarra trayektoriya tenglamasini aniqlaymiz. Aytganimizdan, berilgan
holda harakat integrallari hisoblangan E , M ₀ kattaliklar hisoblangan tenglamasini
yechmasdan trayektoriya tenglamasini topish imkonini beradi. Buning uchun (17) dan r^ ni topamiz:

bundan
r  ^dr 


dt
(20)

dt  ^dr
(21)

ekanligini topamiz va (21)ni ifodaga qo’yib, itegrallasak


d 
  _


^{M 0} dt
mr <sup>2


M 0</sup> dr
mr ²

• 
  const
  

(22)

Trayektoriya tenglamasini topamiz, chunki (22) tenglama r va  o’zgaruvchilar o’rtasidagi bog’lanishni ifoda etadi.
Biz ko’rdikki,

_M 2
U (r)  ⁰  E
2mr ²
(23)

tenglik markazdan qancha masofa zarra harakat qiladigan soha chegarasini aniqlar edi. Bu holda (17) va (23) lardan radial tezlik r^ ning nolga teng bo’lishligi kelib chiqadi. Lekin bu holda zarra, bir o’lchamli harakatda ko’rganimizdek, harakatdan to’xtamaydi, chunki burchakli tezlik ^ nolga teng bo’lmaydi. Radial tezlik uchun

r^  0
r (t )
tenglik trayektoriyadagi «burilish nuqtani» ko’rsatadi, bu nuqtadan boshlab oshib boruvchi yoki kamayib boruvchi qiymatlarni qabul qiladi. Agar r ning

o’zgarish sohasi
r  r_min
shart bilan chegaralangan bo’lsa, zarra cheksizlikdan

r  r_min gacha yaqinlashib, yana cheksizlikka uzoqlashadi.

Agar r ning o’zgarish sohasi
^rmax
^{va r}min
chegaralarga ega bo’lsa, zarra

harakati finitli bo’ladi va uning trayektoriyasi
r  r_max
va r  r_min
doiralar bilan

chegaralangan halqa ichida joylashgan bo’ladi. Lekin bundan zarra harakat trayektoriyasining so’zsiz yopiq bo’lishi kerak degan xulosa kelib chiqmaydi.

Zarraning kuch markazigacha bo’lgan masofaning
^rmax
dan
^rmin
gacha va undan

yana
^rmax
ga qaytishida radius vektor 
burchakka buriladi va uning qiymati

22. 
    ga asosan:
    

^rmax
  2 _
^rmin
^{M 0} dr
_r 2
(24)

Trayektoriyaning yopiq bo’lishligi uchun
  ^m  2
n

(25)

(bu yerda
m, n
butun sonlar) tengligining bajarilmog’i zarurdir. U holda davr n

marta takrorlangandan keyin zarraning radius-vektori m to’liq aylanishlar yasab yana boshlangich qiymatini qabul qiladi. Lekin trayektoriyaning yopiq bo’lishligi kamdan-kam hollarda uchraydi. Shuning uchun umumiy holda finitli harakat
trayektoriyasi yopiq

^Ueff
bo’lmaydi va u
^rmin ^va

^rmax
chegaralardan

₀ cheksiz ko’p marta o’tadi va rasmda chizma
^r hosil bo’ladi.

Agar potensial energiya

U (r) ~ ¹ , r ²
r
bog’lanishga

ega bo’lsa, anna shu

hollardagina trayektoriya yopiq bo’ladi. Infinitli harakat uchun (24) quyidagicha yoziladi


  2 _

^rmin
^{M 0} dr
_r 2

(26)

Bu burchak tortuvchi markazdan uning trayektoriyasiga o’tkazilgan asimptotalar o’rtasidagi burchak hisoblanadi.

Effektiv potensial energiya va to’la energiyalarning radius vektordan bog’liqligi

Endi (17) va (18) energiyalarning r bog’liqlik grafigini chizaylik. Potensial

energiya tortishuvga mos kelsin, ya’ni U (r)  0 bo’lsin.

U holda r  0 da U (r)  
_M 2


_M 2
0 _{ }
2mr ²

intiladi.

r   da esa U (r) ,
0 _{ 0}
2mr ²

Faraz qilaylikki,
_M 2

1. 
   r  0
   

bo’lganda U (r)
energiya
⁰ ga nisbatan tezroq cheksizlikka intilsin.
2mr ²

U holda I-egrilikni olamiz.
_M 2

2. 
   r  0
   

bo’lganda
0
2mr ²
energiya U (r)
ga nisbatan tezroq cheksizlikka intilsa, II-

egrilikka ega bo’lamiz.

5. 
   Endi U (r)  0
   

itaruvishga mos kelsin. U holda U _eff
masofaning biror nuqtasida

minimumga ega bo’lmaydi va III-egrilik hosil bo’ladi.
Rasmda IF-II, IF-III lar energiyasining berilgan qiymatlarida infinitli harakatni ko’rsatadi. Infinitli harakat faqat B-holda mavjud bo’ladi (rasm IF-I bilan ko’rsatilgan).

Deyarlik ko’p hollarda
2

M
0
2mr ²
energiya
r  0
da U (r) ga nisbatan tezroq

cheksizlikka intiladi va zarraning kuch markaziga kirib borishga imkon bermaydi.

A-holda esa
r  0
U (r)
energiya juda tez

• 
   ga intilsa, zarra kuch markaziga
  

«tushib» qolishi mumkin. (17) dan
mr^{ 2}
2


 E  U


r  
2

M
0 _{ 0}
2mr ²

yoki


_M 2
r ²U (r)  ⁰  Er ²
2mr ²

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan
r  0
ga intiluvchi qiymatga

r ²U (r)
r 0
_M 2
_{ } 0
2m

sharti bajarilgandagina ega bo’ladi. Bundan
^{M 2} 

U (r)
  ⁰  
^r0 2mr ² r ²

Ekanligini topamiz. Demak,
U (r)
manfiy cheksizlikka yoki  ^
_r 2
tariqasida ¹
_r n

( n  2 ) tariqasida intilmog’i kerak.