Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Nazorat savollari

1. 
   Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasini yozing (umumlashgan koordinata, Lagranj tenglamasi, Gamilton tenglamasi, almashtirish, yangi o’zgaruvchilar).
   
2. 
   O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish ifodasini ko’rsating. (hosilaviy funksiya, kanonik almashtirish, garmonik almashtirish, garmonik ossillyator)
   
3. 
   Yangi kanonik almashtirish formulasini yozing. (yangi kanonik almashtirish Gamilton funksiyasi, Puasson qavsi).
   

Пуассон қавслари
Режа:

1. 
   Пуассон қавси
   
2. 
   Пуассон қавсининг хоссалари
   
3. 
   Пуассон теоремаси
   

Гамилтон формасида ёзилган механика Пуассон қавслари деб аталувчи муносабатлар ёрдамида қулай ва содда кўринишни олади.

Фараз қилайликки, бизга
q, p
лар ва t нинг функцияси бўлган

^{f  f q, p, t } ва ^{g  gq, p, t }

функциялар берилган бўлсин. Бу функциялар учун Пуассон қавси қуйидагича ёзилади:

^ f
f , g _^ _p
g _ f
q q
g ^


p

 i i i i 

i
Ҳар бири учун бу қавсни қуйидагича топамиз. Функсиялар бирортасининг вақт бўйича тўлиқ ҳосиласи

df _ f _{ (} f _q
 ^f p^ )

dt t
q_i
p_i

q^i , p^{ i} лар ўрнига Гамилтон тенгламасидан қийматларни қўямиз:

df _ f _{ (} f H _
^{f H} )  ^f  f , H 

dt t
q_i
p_i
p_i
q_i t

f -нинг ҳаракат интеграли бўлишлиги учун
df _{ 0}
dt

ёки

^f  f , H  0
t
бўлмоғи зарурдир. Агар ҳаракат интеграли вақтга ошкор боғлиқ бўлмаса,

f _{ 0}
t
бўлади, у ҳолда ^{f , H } ҳам нолга тенг бўлади.

Пуассон қавсининг таърифидан унинг бир қанча хоссалари келиб чиқади:

1. 
   Агар қавс ичидаги функциялар ўрин алмашса, қавснинг ишораси
   

ўзгаради:
f , g  g, f 

2. 
   Агар функциялардан бири доимий бўлса, масалан, г=C, қавс нолга тенг бўлади:
   

f , g f , C  0

3. 
   Ҳар бир функция бўйича қавс чизиқли бўлади:
   

f₁  f ₂ , g  f₁ , g f ₂ , g

f₁ f ₂ , g 
f₁ f ₂ , g
f ₂ f₁ , g

4. 
   Вақт бўйича хусусий дифференциаллаш учун Лейбниц қоидаси бажарилади:
   

^ { f , g}  {^f , g} { f , ^g }
t t t

5. 
   Якоби айнияти бажарилади:
   

f , g, h
 g,h, f 
 hf , g  0

Агар функциялардан бири координаталар ёки импулслардан бирига мос келса, Пуассон қавси хусусий ҳосилага келтирилади:

^ f ^ f
f , q_k  _^ _p ^  _p
^{ } k

f , p_{k
 } f
p

(q_i , q_k )  0,

( p_i , p_k )   _ik

k

( p_i , p_k )  0

энди Гамилтон тенгламаларини Пуассон қавси ёрдамида ёзамиз:

q^  ^H
dq_i
ни
_ q_i

 (q , H )  (q , H )

i
^{i p} dt t ^{i i}

Бунга кўра Гамилтон тегламалари қуйдаги кўринишни олади

q^i
 (q_i , H ),
p^i
 ( p_i , H )  (H , p_i )

21. 
    ma’ruza: GAMILTON-YAKOBI METODI.
    

REJA

• 
  Gamilton-Yakobi tenglamasi.
  
• 
  O’zgaruvchilarni ajratish usuli.
  
• 
  Ta’sir-burchak o’zgaruvchilari va adiabatik invariantlar.
  
• 
  Yangi Gamilton funksiyasi.
  
• 
  Gamilton-Yakobi tenglamasining to’la bo’lmagan integrali.
  

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: trayektoriya, erkinlik, Lagranj tenglamasi, energiya, impuls, Gamilton
– Yakobi tenglamasi, ta’sir, integrallash, variasiya

Bizga ma’lumki ta’sir funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega
t_o
S  _ Ldt
t
(1)

erkinlik darajasi birga teng bo’lganda biror trayektoriyadan unga yaqin bo’lgan trayektoriyaga o’tilganda (1) ning o’zgarishi uning variasiyasi orqali berilar edi:
L ^t2 ^ L d L ^


S 
 q |^t2

t
q ¹
_^ _q

_t
1

• 
  _{dt q} ^ qdt
  

(2)

Haqiqiy harakat trayektoriyasi Lagranj tenglamasini qanoatlantirgani uchun (2)
ning o’ng tomonidagi ikkinchi had nolga teng. Agar quyi chegarada ^{ q(t1)  0}
L
desak, ^{ q(t2 )   q} deb belgilash kiritsak va _q ning ^p ekanligini hisobga olsak,

yoki umumiy holda

S  p^ q

hosil bo’ladi. (3) dan

S  _
p^{ i}q_i
(3)

S _
q
p^{ i}

ekanligini topamiz. (2) dan ta’sirning vaqt bo’yicha to’liq hosilasi
S _{ L}
q

(4)

bo’lar edi. Ikkinchi tomondan

i
dS _ S _{ } S _q
 ^S  _ p q^

(5)

dt t

4. 
   va (5) larni solishtirib,
   

q_i t

ekanligini topamiz. Agar
S


_t  L  p_i q_i

ekanligini hisobga olsak

H  _ p_i q^i  L

bo’ladi. Yoki
^S  H
t

Agar


_{p } S
q
^S  H ( p, q, t)  0
t
ekanligini hisobga olsak, (6) quyidagicha yoziladi:
(6)

s
^S  H (q ,...q
, ^S ,..., ^S , t)  0
(7)

t ¹
q₁ q_s

ushbu tenglama Gamilton-Yakobi tenglamasi deyiladi. Xususiy hosilaga ega bo’lgan differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, agar tenglama qancha o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilarga ega bo’lsa, uning integrallashguniga qadar shuncha ixtiyoriy doimiyliklarga ega bo’ladi.

S  f (t, q₁ ,..., q_s ,₁,..., _s )  A
(8)

bu yerda ^{1 ,. ,s}
A ixtiyoriy doimiyliklar.

Endi Gamilton – Yakobi tenglamasining to’liq integrali va bizni
qiziqtirayotgan yechimi o’rtasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. Buning uchun ^{q, p}
koordinatalardan yangi o’zgaruvchilarga kanonik almashtirish yordamida o’tamiz.

f t, q, 
funksiyani hosilaviy funksiya deb,
₁ ,. ,_s
kattaliklarni yangi

o’zgaruvchilar – impulslar deb olamiz, yangi koordinatalarni belgilaymiz. Kanonik almashtirishlarda ko’rganimizdek,
₁ ,... _s
orqali

p_i 
f _,
q_i
_i 
f _,
_i
H '  H  ^f
t

bu yerda f funksiya Gamilton – Yakobi tenglamasini qanoatlantirgani uchun yangi funksiya ^{N } aynan nolga teng bo’ladi:
H '  H  ^A  H  ^S  0
t t
yangi o’zgaruvchilar Gamilton tenglamasini qanoatlantirgani uchun

^i
  ^{H '}  0,
_i
_i
 H ' _{ 0}
_i

bulardan
₁  const ,
₁  const

Ikkinchi tomondan, S – ta


f_i
_i

 _i

Tenglamalar ^S - ta ^q koordinatalarning vaqt va ^2S – ta ixtiyoriy doimiyliklar

( _i , _i )
orqali ifodalash imkonini beradi. Bu bilan harakat tenglamasining umumiy

integralini topamiz.
Shunday qilib, Gamilton – Yakobi usuli bilan mexanik sistema harakatini topish masalasi quyidagi amallarni bajarishni talab yetadi.

Gamilton funksiyasi yordamida Gamilton-Yakobi tenglamasi tuziladi va uning (8) ko’rinishdagi to’liq integrali topiladi. Yechimni ixtiyoriy doimiylik  bo’yicha differensiallanib va uni yangi ^ doimiylikka tenglashtirib, ^S – ta algebraik tenglamalar sistemasini olamiz:

S
_i
 _i

Bu tenglamalar sistemasini yechib, ^q ni vaqtning va ^2S ta ixtiyoriy doimiyliklar
funksiyasi tariqasida topiladi. Impulslarning vaqtga bog’liqligi esa

P_i 
S
q_i

tenglamalardan topiladi.

Agar Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmasa, Gamilton-Yakobi tenglamasining integrali quyidagicha bo’ladi:
S  S₀ q  Et

bu yerda
S ₀ (q)
– qisqartirilgan ta’sir deyiladi. Bundan

S
_{ t}  E  H (q₁ ,..., q_s
, p₁,..., p_s ),
P  ^S
q
_ S₀
q

yoki Gamilton – Yakobi tenglamasi

1 s
H (q ,...q
, ^S0 ,..., ^S0 )  E

(9)

ko’rinishga yega bo’ladi.

q₁
q_s

Ayrim hollarda Gamilton-Yakobi tenglamasining to’liq integrali o’zgaruvchilarga ajratish usuli bilan ham topiladi. Bu usulning mohiyati quyidagicha:

Faraz qilaylik, qandaydir
q₁ koordinata va unga tegishli bo’lgan
S
q₁
hosila

^ S ^

Gamilton – Yakobi tenglamasiga
 ^ q₁ , _q ^
kombinasiyasida kirsin hamda

 1 
boshqa biror koordinata va hosilalarga bog’liq bo’lmasin. U holda Gamilton – Yakobi tenglamasi
^ S S ^ S ^{ }

_q_i , t, _{q t} ,^ q₁ , _q ^ _  0
(10)

_ i  1  _

umumiy ko’rinishga yega bo’ladi. Bu yerda q_u
to’plamini ifodalaydi.
Bu tenglamaning yechimini
S  S q₀t   S₁^q₁ 
q₁ dan tashqari koordinatalar
(11)

yig’indi tariqasida axtaraylik. Bu yechimni (10) ga qo’yamiz:


^q ,t, ^{S ' S '} ,(q , ^S1 )^  0

 _i





1
_ q_i t
q_{1 }
(12)

Faraz qilaylikki, (11) yechim topilgan bo’lsin. Uni (12) ga qo’yilganda, (12)
ayniyatga aylanadi va ^q1 ning istalgan qiymatida o’rinli bo’ladi. Lekin ^q1
o’zgarganda faqat funksiya o’zgaradi. Shuning uchun (12)ning aynan bajarilishi uchun  funksiya doimiy bo’lmog’i lozim. U holda (12) ikkita tenglamaga ajraladi

i

1

1
(q , ^S1 )   ,

^q , t, ^{S '} , ^{S '} , ^  0

q₁
^{ i} q t ^{1 }




(₁ ixtiyoriy doimiylik). Bu tenglamaning birinchisi oddiy differensial tenglama,

uning oddiy integrali
S₁ (q₁ )
ni beradi. Ikkinchisi ham differensial tenglama, lekin

o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilari kamaygan bo’ladi. Shu yo’l bilan tenglamadan S barcha koordinata vaqtni ajratib, yechimi topiladi.
S  _S_k (q_k ,₁ ,..., _s )  E(₁ ,..., _s )t

Bu yerda har bir ^S_k funksiya faqat bitta koordinataga bog’liq bo’ladi, energiya

esa ^₁ ^,..., _s ixtiyoriy doimiyliklar funksiya bo’ladi. Energiya
S₀  _ S_
ni (9)

qo’yib topiladi.