Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Nazorat savollari

1. 
   Lagranj funksiyasi ifodasini yozing.
   
2. 
   Langrang tenglamalarini yozing
   
3. 
   Gamilton funksiyasini yozing
   
4. 
   Gamiltonning kanonik tenglamalari yozing
   
5. 
   Gamilton tenglamalarini variasiya prinsipi asosida keltirib chiqaring
   
6. 
   Sistema energiyasi nima ?
   

13. 
    ma’ruza: KANONIK ALMASHTIRISHLAR
    

REJA:

• 
  Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasi
  
• 
  O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish
  
• 
  Yangi kanonik almashtirish formulasi
  

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Umumlashgan koordinatalar, fazo, Lagranj tenglamalari, funksiy, Gamilton tenglamalari, Kanonik almashtirishlar

Umumlashgan koordinatalarni tanlab olish biror shart bilan chegaralangan bo’lmaydi – istalgan S ta koordinatalar sistemaning fazodagi holatini bir qiymatli ravishda aniqlab beradi.

d L dt q^i
_ L
q_i

 0,

i  1,2,. , S 

Lagranj tenglamalari bunday tanlab olishga bog’liq bo’lmaydi, shuning uchun bu

tenglamalar
q₁ , q₂ ,...
koordinatalardan istalgan o’zaro bog’liq bo’lmagan

Q₁ , Q₂ ,...
koordinatalarga o’tishga nisbatan invariant bo’ladi. Yangi ^Q

koordinatalar yeski ^q koordinatalar funksiyasi hisoblanadi. Faraz qilaylikki, ^Q
koordinatalar, shuningdek vaqtning ham funksiyasi hisoblansin, ya’ni

Q_i  Q_i q, t 
(1)

Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham bu almashtirishlarga nisbatan o’z ko’rinishlarini o’zgartirmaydi. endi bu yerda (1) almashtirishlarga
o’zaro bog’liq bo’lmagan ^R o’zgaruvchilarni ham kiritish lozim bo’ladi:

Q_i  Q_i q, R,t  P_i  P_i q, p, t 

(2)

Shuni aytish kerakki, (2) almashtirishi ixtiyoriy ko’rinishida harakat teglamalarining o’z ko’rinishini o’zgartirmay qolaveradi. O’z ko’rinishlarini saqlab qolishi uchun

_Q_i
 H ' _,
P_i
P_i
 H '
Q_i

2. 
   

tengliklarning bajarilishi lozim bo’ladi. Bu yerda
H ^P, Q
Gamiltonning biror

yangi funksiyasi. (3) almashtirishlar kanonik almashtirishlar deyiladi. Mumkin bo’lgan (3) almashtirishlardan (4) kanonik almashtirishlarni keltirib chiqarish uchun variasiyasiga murojaat qilamiz. Bu prinsipga ko’ra Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham kelib chiqadi. Buning uchun

P

H

i

i
 _(_ p_i dq_i  Hdt)  0

sharti bajarilgani kabi, yangi o’zgaruvchilar
^' va
^' lar uchun ham

 (_ P^'dQ
 H 'dt)  0

_ i i

shartining bajarilmog’i zarur hisoblanadi. Bu ikki shart shu paytda ekvivalent bo’ladiki, agar integral ostidagi ifodalar bir-biridan biror ixtiyoriy F funksiyaning to’liq differensialiga farq qilsa, ya’ni

_ p_i dq_i  Hdt  _ P_i dQ_i  H 'dt  dF
(5)

Bu yerdagi F funksiya almashtirishning hosilaviy funksiyasi deyiladi. (5) ni quyidagicha yozamiz

dF  _ p_idq_i  _ P_i dQ_i  (H 'H )dt
(6)

Bundan biz ^F funksiyani ^{F  F q, Q, t } deb topamiz:

i
P  ^F ,
q_i
p   ^F ,

i
Q_i
H '  H  ^F
t

(7)

5. 
   funksiyaning berilgan qiymatida (7) formulalar yeski ^{p, q} va yangi ^{P, Q}
   

o’zgaruvchilar o’rtasida, shuningdek Gamilton funksiyalari o’rtasida bog’lanishni ifodalaydi.
Ayrim hollarda hosilaviy funksiyani o’zgaruvchilarda ifodalash qulay
bo’lishi mumkin. Buning uchun (6) _ ^P_i ^dQ_i hadni boshqacha qilib yozamiz:
_ P_i dQ_i  d _ P_iQ_i  _Q_idP_i
va (6) ni qayta yozamiz:

Yangi
d (F  _ P_i Q_i )  _ p_idq_i  _Q_i dP_i  (H 'H )dt

Ф(q, p,t)  F  _ P_i Q_i

hosilaviy funksiya kiritib,
P_i
  _,
q_i
Q  ^ ,

i
p_i
H '  H  ^
t

kabi kanonik almashtirishlarni olamiz. Shu yo’l bilan har xil hosilaviy funksiyalar kiritish yordamida yangidan yangi kanonik almashtirishlar olish mumkin.
Kanonik almashtirishlarga misol tariqasida garmonik ossillyatorni qaraymiz.
Ossillyator uchun ^{m  1}



L 
x²   ² x²
,
2
q  x,
_{p } L
x^
 x^,
p ²   ²q ²
H 
2

Yangi impuls va koordinata kiritaylik:
P  iA^*  i ^{p  iq} ;
_{Q  A } p  iq

(8)

^{P, Q} dan tashkil topgan Puasson qavsini hisoblaylik:

(P,Q)  i( A^*, A)  ^{P Q}  ^{P Q} 

p q q p

 (i ¹
 i ^{i 1} ) 
2

 i( ^{ i}  ^i )  i ^{ 2i}  1

2
Demak,
2
A^* , A  i,

P, Q  P, A  1

bajariladi va (8) almashtirishlar kanonik almashtirishlar bo’ladi. yangi o’zgaruvchilarda

PA  i
p ²   ² q ²


ⁱ 2

_ i p ²   ² q ²
 2
 ⁱ H


Bundan
H  ^ PA  iPA  i(iA^*, A)  A^* A i

Harakat tenglamalari
A^* , A
lar uchun quyidagicha yoziladi:

dA^* _*
^ A^*H
A^*
H ^

 ( A
dt
, H )  ^

PQ
^ Q
_P ^ 


 ^{ 1} A^   A

 

i
 
Bu tenglamalar yechimi
dA ^ A H A H ^ A

 ( A, H )  ^ 

dt _ P Q Q

^  

P _ i
 iA

hisoblanadi.

^{A  aeit} ,
_A* _{ a}*_eit
(9)

Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmagani uchun bo’ladi va energiya saqlanuvchan bo’ladi.
H _{ 0}
t

p²   ² q²
H 

2

  A^*
A   a^*a

(9) yechimda
a, a^*
larni
A, A^*
lar orqali ifodalash ham mumkin:

U holda

a^* , a
^{a  eit A} , ^a*
lar uchun Puasson qavsi
_{ e}it _A*

(a^*, a)  e^it e^it ( A^*, A)  i

Ya’ni
(a^*, a)
ning qiymati
( A, A^* )
ning qiymati kabi bo’ladi. Lekin
a^* , a

larning vaqt bo’yicha o’zgarishi Haqiqatan
A, A^*
larning o’zgarishidan farq qiladi.

^da  ^a  (aH )  i a  ^{a H}
_ a H _

dt t
P Q
Q P

 i a  (0  e^{i t  A})  i a  i a  0
i