Samarqand davlat universiteti matematika fakulteti amaliy matematika va informatika yo

Chiziqlimas ob’yektlarni aniqlashning statistik usullari. Ob'ektning chiziqli bo'lmaganlik darajasining dispersion baholari

Kimyoviy-texnologik ob'ektni ko'rib chiqaylik, uning kirishi tasodifiy signal u (/), chiqishi esa tasodifiy jarayon y (/). Doimiy parametrlarga ega chiziqli ob'ektlarni aniqlash uchun korrelyatsiya usullaridan foydalanganda, odatda, u (t) va y ( t ) tasodifiy funktsiyalari statsionar va statsionar juftlik bilan bog'liq deb taxmin qilinadi (yoki sinov signali shu tarzda maxsus tanlanadi). keng ma'noda, ya'ni ularning matematik kutilmalari doimiy bo'lib, avto va o'zaro bog'liqlik funktsiyalari ularning farqiga teng ikkita emas, balki bitta argumentning funktsiyalari.
Chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlarni aniqlashda u (t) va y (t) funktsiyalarining ehtimollik zichliklarining normalligi uchun shartlar va ularning qo'shma ehtimollik zichligi, qoida tariqasida, qoniqtirilmaydi, ya'ni ob'ektning xususiyatlari aniqlanadi. u (t) va y (/) funktsiyalarining qo'shma ehtimollik zichliklari Gauss bo'lmagan sharoitlarda.
Demak, y(t) funksiyaning u(t) ga nisbatan shartli ehtimollik zichligi ham Gauss bo‘lmagan bo‘ladi. Argumentlarning berilgan qiymatlari uchun kirish tasodifiy funktsiyaga nisbatan chiqish tasodifiy o'zgaruvchining regressiyasi odatda chiziqli emas va u (0 va y ( t) funktsiyalarining korrelyatsiyasi geterokedastikdir.
Shunday qilib, chiziqli bo'lmagan ob'ektlarni aniqlash uchun matematik taxminlar va tasodifiy jarayonlarning korrelyatsiya funktsiyalari bilan ishlaydigan korrelyatsiya usullari endi etarli emas. Chiziqli tizimlar uchun qo'llaniladigan korrelyatsiya usullari bilan chiziqli bo'lmagan ob'ektni aniqlash masalasini hal qilishda xatolik qanchalik katta bo'lsa, y(t) funktsiyalarning u( t) ga nisbatan regressiyasi qanchalik kuchli bo'lsa , chiziqli bo'lmagandan shunchalik katta bo'ladi. shartli dispersiyalarning matematik kutilishining bir xilligi.
Tasodifiy buzilishlar sharoitida ishlaydigan chiziqli bo'lmagan ob'ektlarni aniqlash vazifasi hozirda ishlab chiqilayotgan va hali tugallanmagan juda murakkab matematik muammodir. Shunga qaramay, hozir ham bir qator usullarni nomlash mumkin, ularni to'liq deb hisoblash mumkin bo'lmasa ham, nochiziqli ob'ektlarni statistik usullar bilan aniqlash muammosiga etarlicha yaxshi taxminiy yechim beradi. Bu usullarga quyidagilar kiradi: 1) tasodifiy jarayonlarning dispersiya va o'zaro dispersiya funksiyalaridan foydalanishga asoslangan usullar; 2) u(t) ga nisbatan y(t) funksiyaning shartli dispersiyasining matematik kutilishining homosedastiklik bo‘limlarida chiziqli bo‘lmagan regressiyani chiziqlilashtirish usuli.3) chiziqli bo'lmagan tizimlarni aniqlashda Wiener yondashuvi; 4) shartli Markov jarayonlari apparatidan foydalanishga asoslangan chiziqli bo'lmagan tizimlarni aniqlash usuli.
Keling, ushbu usullarning har birini qisqacha ko'rib chiqaylik.
1. Agar tasodifiy funktsiyalar qiymatlari va (0 va y ( t)) o'rtasidagi bog'liqlik chiziqli bo'lmasa, tasodifiy funktsiya qiymatlari o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti endi yaqinlikni o'lchash uchun etarlicha yaxshi mezon bo'lib xizmat qila olmaydi. ular orasidagi munosabatni.Shuning uchun va va y o'rtasidagi munosabatni xarakterlash uchun ,
dispersiya funktsiyalari orqali aniqlanadigan dispersiya munosabatlari (2, 3).
Haqiqiy tasodifiy funksiyalar y(t) va u(t) uchun o’zaro dispersiya funksiyasi 0 YU(*,m) va tasodifiy u(t) jarayoni uchun avtodispersiya (dispersiya) funksiyasi GnK(*,m) quyidagicha aniqlanadi. Munosabatlar

bu yerda M { } - matematik kutish belgisi; M [y _t u } —
u (t) ga nisbatan tasodifiy y(t) funksiyaning shartli kutilishi ; p (y _{ va _x ) - u (t) ga nisbatan y (t) tasodifiy funksiyaning shartli ehtimollik zichligi ; p(y ₍ ), p(uj ) mos ravishda bir o‘lchovli y (f) va u (m) ehtimollik zichliklari.
Tegishli dispersiya nisbatlari u(t) ga nisbatan normallashtirilgan o’zaro dispersiya funksiyadi y(t) sifatida aniqlanadi:

va normallashtirilgan dispersiya funksiyasi

bu yerda D dispersiya belgisi. Umuman olganda, M (y _t | u _t } =? M {u _T | y _t ) ₉ shuning uchun identifikatsiyalash masalalarini yechishda u(x) va y (t) o‘zaro dispersiya funksiyasi ham aniqlanadi:

va mos keladigan dispersiya nisbati

Kiritilgan dispersiya munosabatlari, birinchi navbatda, identifikatsiya ob'ektining chiziqli bo'lmaganligi darajasi kabi muhim xarakteristikani aniqlash va miqdorni aniqlash imkonini beradi. Ma'lumki, mumkin bo'lgan operatorlar sinfidagi ob'ektning optimal (o'rtacha kvadrat mezoni ma'nosida) operatori kirishga nisbatan chiqish o'zgaruvchisini shartli kutish operatori hisoblanadi.

Inersiyasiz ob'ekt holatida M {y _t u _z } qiymati kirishning ma'lum bir funktsiyasi va ixtiyoriy, lekin belgilangan vaqt momentida t:

Chiziqli holatda (8.2) tenglama shaklni oladi

Bu erda a _{y y} ( t , x) va b _yu (< t , x) funktsiyalari y ning qiymatlari va ularning t martalariga bog'liq .
Ob'ektning nochiziqlilik darajasi qanchalik katta bo'lsa, shartli kutish egri chizig'i (8.2) to'g'ri chiziqdan (8.3) shunchalik chetga chiqadi, deb taxmin qilish tabiiydir. Shuning uchun nochiziqlik darajasi to'g'ri chiziqdan regressiya egri chizig'ining eng kichik o'rtacha kvadrati sifatida aniqlanadi va minimalni qidirish funktsiyalar tomonidan amalga oshiriladi. a _yu (*, x) va b _yu (t _} x):

Kutish belgisi ostidagi qiymatni minimallashtiruvchi a _y (?, x) va b _yu (t , x) funktsiyalari shaklni oladi!

Bu yerda R ^u y _U (i t , x) u kirish va chiqish y ning normalangan o‘zaro bog‘lanish funksiyasi .
(8.5) va (8.6) ifodalarni (8.4) tenglikka almashtirib, normallashtirilgan dispersiya nisbati (8.1) taʼrifini hisobga olib, inertial obʼyektning chiziqli boʻlmaganlik darajasi uchun kerakli ifodani olamiz:

bu yerda 0 < [ x _u (/, x) < 1.
_{Xuddi shu tarzda shuni ko'rsatish mumkinki, murakkab zavod uchun y t chiqishning kirishlarga nisbatan chiziqli bo'lmaganlik darajasi.}